¿Por qué no podemos definir el "imaginario" de los números para cada "imposibilidad"?

Question

Antes de que el concepto de los números imaginarios, el número de $i = \sqrt{-1}$ was shown to have no solution among the numbers that we had, so we said $i$ a ser un nuevo tipo de número. ¿Cómo es que no hacemos lo mismo con las otras "imposible", ecuaciones, tales como $x = x + 1$, or $x = 1/0$?

Editar: OK, muchas personas han dicho que un número $x$ such that $x = x + 1$ would break the rule that %#%#% \neq 1$. However, let's look at the extension from whole numbers to include negative numbers (yes, I said that I wasn't going to include this) by defining $-1$ to be the number such that $-1 + 1 = 0$. Note that this breaks the "rule" that "if $x \leq y$, then $ax \leq ay$", which was true for all $a, x, y$ antes de la introducción de los números negativos. Así que no estoy convencido de que "los Que rompen un poco obvia la verdad acerca de todos los números" es necesariamente un argumento en contra de este tipo de cosas.

Answer 1

He aquí una diferencia clave entre los casos.

Supongamos que añadimos a los reales un elemento $i$ such that $i^2 = -1$, y, a continuación, incluir todo lo demás se puede conseguir mediante la aplicación de la adición y la multiplicación, mientras que la preservación de las habituales reglas de la adición y la multiplicación. La expansión de los reales a los números complejos en este modo no nos permiten probar nuevas ecuaciones entre los reales incompatibles con los establecidos previamente.

Supongamos por el contrario añadimos a los reales, un nuevo elemento, % # % # % nos permite probar nuevas ecuaciones llanamente incompatible lo que ya sabemos. Malas noticias!

Ahora, podemos añadir un elemento como el $k$ postulated to be such that $k + 1 = k$ and then also add every further element you can get by applying addition and multiplication to the reals and this new element $k$. Then we have, for example, $k + 1 + 1 = k + 1$. Hence -- assuming that old and new elements together still obey the usual rules of arithmetic -- we can cheerfully subtract $k$ from each side to "prove" = 1$. Ooops! Adding the postulated element $k$.

Answer 2

En aritmética ordinal tenemos +\omega=\omega$. There is an algebraic downside: it turns out that $\omega+1\ne \omega$.

Answer 3

La respuesta corta es que usted puede agregar cualquier hecho hasta la solución de cualquier ecuación que desea y extender a cualquier número de sistema (o cualquier sistema) tiene uno más grande.

El ligeramente más largo, la respuesta es que en matemáticas es por lo general con algún objetivo en mente de que se hace una extensión. En particular para los números imaginarios se mencionó, la raíz cuadrada de $-1$ fue contemplado porque simplificado manipulación de polinomios cuando en busca de sus raíces.

El irrationals se agregan a los números racionales desde el racional no basta para la medición de distancias (es decir, la hipotenusa de un triángulo con lados de igual a $ is $\sqrt2$).

Infinitesimals se agregan los números reales con el fin de hacer riguroso heurística argumentos con dichas entidades.

Infinitamente grandes números naturales se añaden a la ordinaria de números naturales con el fin de construir ciertos modelos mostrando la independencia de ciertos axiomas de los demás.

Conjuntos infinitos se añaden a los más mansos finito de conjuntos ya que es conveniente ser capaz de hablar acerca de las colecciones infinitas de, por ejemplo, los números.

100-150 años 'función' asume un significado muy estrecho (no definido) básicamente lo que hoy llamaríamos: una función es analítica en todas partes, excepto posiblemente en puntos aislados. Incluso hubo intentos de probar que toda función continua debe ser diferenciable en casi todos los puntos. Poco a poco, los más bestias exóticas - funciones que son continuas pero diferenciable - entró en la escena. Así extender el estudio de las funciones de la clase específica de casi todas partes diferenciables a la clase de continuo. Esto se necesitaba de nuevo por las aplicaciones, ya que tales funciones se producen como el uniforme de los límites de funciones analíticas.

Hay muchos más ejemplos en donde algunas extensión se hace impulsado por algunas aplicaciones o una necesidad de entender mejor la axiomatics de algún sistema.

Answer 4

La adición de un "imaginario" de la solución a un "imposible" ecuación siempre rompe las reglas existentes (por definición, porque una de las reglas era que la ecuación imposible era imposible). La pregunta es si la ganancia de la nueva solución, vale la pena la pérdida. En el caso de la ampliación de reales a los números complejos, se pierde la costumbre de ordenar a la propiedad (un orden $\le$ that is compatible with $+$ and $\cdot$ debe tener todos los cuadrados no negativos), pero la ganancia resultante es enorme, porque se puede resolver muchas ecuaciones que no podía antes.

En su ejemplo, de pasar de números no negativos a todos los números, renunciar a la propiedad $x \le y$ implies $ax \le ay$, but it's easy enough to fix up slightly, namely, to add the condition that $a \ge 0$ (and perhaps to say that the inequality is reversed if $a < 0$). Este es también un pequeño cambio.

Si se agrega una solución a $x=x+1$, then as others have mentioned, you either have to give up %#%#% \ne 1$ or else give up subtraction. The first one would pretty much makes the new system useless. The second can be useful under certain circumstances. For example (as is done in measure theory, among other places), you can introduce a symbol $\infty$ that satisfies $\infty=\infty+1$. You can also define addition involving $\infty$, and most multiplications, and even most subtractions. A problem arises when you try to define the difference $\infty - \infty$, or the product $\infty \cdot 0$, de modo que dejen a los indefinidos. Usted ha perdido la capacidad de siempre, restar, ni multiplicar, pero en algunos contextos que está bien. Sólo tienes que recordar que esas restricciones cuando usted está trabajando en esos contextos.

Answer 5

Si usted puede utilizar conjuntos para definir una estructura que tiene algunas propiedades (como $\exists x[x=x+1]$, of course one has to know what $ es.), a continuación, hemos terminado. Construcciones formales con los juegos es lo que se utiliza para hacer los números naturales, enteros, racionales, números reales,....

En esta parte se utiliza álgebra abstracta:

El anillo de $R[x]/\langle x^2+1\rangle$ has solutions to the equation $x^2+1=0$. (Where $ is the multiplicative identity of $R[x]/\langle x^2+1\rangle$)

En forma similar, el anillo de $R[x]/\langle1\rangle$ has solutions to the equation $x+1=x$.

Esta es la trivial anillo. Sin embargo, el trivial anillo no es realmente interesante.