Familia de superficies de Enriques y Grothendieck-Riemann-Roch

Question

Actualmente estoy estudiando el artículo Módulos de superficies de Enriques y Grothendieck-Riemann-Roch por Pappas.

Me interesa especialmente cómo aplica el GRR.

Q1. ¿Qué se entiende por una "familia de superficies Enriques"? Supongo que un morfismo plano $f:Y\longrightarrow T$ de variedades proyectivas lisas tales que cada fibra es una superficie de Enriques, pero tal vez esto es demasiado general?

Q2. En el artículo se dice que las imágenes directas más altas $R^i f_\ast O_Y$ son cero ( $i>0$ ). ¿Es una aplicación del teorema de Grauert (III.12, Cor. 12.9, Hartshorne)?

Q3. Cómo ver fácilmente que $R^0f_\ast O_Y = O_T$ ? Supongo que el teorema de Grauert de nuevo.

Answer 1

Esta es una observación algo técnica, relacionada con la respuesta de Andrea, que es un poco demasiado grande para caber en la caja de comentarios.

Si $f: Y \rightarrow T$ tiene fibras conectadas, para concluir que $R^0f_*\mathcal O_Y = \mathcal O_T$ se necesitan algunas suposiciones más allá de eso $f$ es un morfismo proyectivo de esquemas noetherianos. (Consideremos estos ejemplos: una incrustación cerrada tendrá fibras conectadas. Para dar un ejemplo en el que todas las fibras sean no vacías, consideremos un esquema no reducido $T$ y que $Y$ sea el subesquema reducido subyacente. O se podría tomar $T$ para ser una curva cuspidal cúbica y $Y$ para ser su normalización).

Lo que muestra el teorema sobre las funciones formales (suponiendo que $f$ es proyectiva, y que $Y$ y $T$ son noetherianos, por lo que podemos aplicar el resultado tal y como se demuestra en Hartshorne) es que para cualquier punto $P$ en $T$ El $\mathfrak m_P$ -Cumplimiento de las normas $(R^0f_*\mathcal O_Y\hat{)}_P$ es igual a $H^0(\hat{Y}_P,\mathcal O)$ las secciones globales de la gavilla estructural en el fibra formal $\hat{Y}_P$ en $P$ .

Así que si $f$ tiene fibras conectadas y, por tanto, fibras formales conectadas, de modo que $H^0(\hat{Y}\_P,\mathcal O)$ es un anillo local, vemos que $(R^0f_*\mathcal O_Y\hat{)}_P$ es un local finito $\hat{\mathcal O}\_{T,P}$ -Álgebra. En general, no se puede hacer mejor que esto.

Pero, si $f$ es plana con fibras geométricamente conectadas y reducidas (por ejemplo $f$ es suave con fibras geométricamente conectadas), entonces el cambio de base para mapas planos (Hartshorne III.9.3) muestra que la fibra mod $\mathfrak m_P$ de $R^0f_*\mathcal O_Y$ es igual a $H^0(Y_P,\mathcal O_P)$ (la fibra real sobre $P$ , ahora, no la fibra formal), que es igual a $k(P)$ (el campo de residuos en $P$ ), ya que $Y_P$ es proyectiva, geométricamente reducida y geométricamente conectada sobre $k(P)$ .

Así que, manteniendo estos supuestos en $f$ vemos que para cada punto $P$ de $T$ , el tallo $(R^0f_*\mathcal O_Y)_P$ es un finito $\mathcal O\_{T,P}$ -con la propiedad de que su reducción modulo $\mathfrak m_P$ es isomorfo a el campo de residuos $k(P)$ de ${\mathcal O}\_{T,P}$ . Esto implica (según Nakayama) que el mapa natural ${\mathcal O}\_P \rightarrow (R^0f_*\mathcal O_Y)\_P$ es suryente. Esto es cierto en cada $P$ y así vemos que $\mathcal O_T \rightarrow R^0f_*\mathcal O_Y$ es suryente.

Ahora se puede combinar esto con el resultado de Grauert para concluir (ya que una suryección de gavillas invertibles es necesariamente un isomorfismo) que el mapa natural $\mathcal O_T \rightarrow R^0f_*\mathcal O_Y$ es un isomorfismo. (Probablemente no necesitamos necesitamos utilizar toda la fuerza de Grauert aquí; por ejemplo, supongamos que $T$ está conectado; un mapa plano es abierto, y un mapa proyectivo es cerrado, así que $f$ es suryente, por lo que fielmente plana, y esto implica que el mapa $\mathcal O_T \rightarrow R^0f_*\mathcal O_Y$ es inyectiva, creo).

Añadido: Véase la respuesta de Keerthi Madapusi más abajo para corregir la discusión anterior del cambio de base plana.

Answer 2

No hay mucho que decir, porque tú mismo te respondes. :-)

Una familia de superficie Enriques es como tú la defines. La igualdad en 2) se desprende del teorema de Grauert.

Lo único es que Grauert no es suficiente para demostrar que $R^0f_\ast O_Y = O_T$ ya que sólo implicaría que $R^0f_\ast O_Y$ es un haz de líneas. Pero en la característica 0 la igualdad $R^0f_\ast O_Y = O_T$ (para un morfismo proyectivo de los esquemas noetherianos) es equivalente al hecho de que las fibras están conectadas. Una implicación es [Har III.11.3]. No puedo encontrar ahora una referencia para la otra implicación, pero se deduce en su caso de la factorización de Stein [Har III.11.5].

EDIT: He citado mal el resultado. Una implicación es siempre cierta, pero la otra requiere supuestos más fuertes, en particular $f$ debe ser plana. Ver la respuesta de Emerton para una corrección.

Answer 3

No he podido averiguar cómo comentar el post de Emerton, así que me disculpo por esta respuesta sin sentido.

"Pero, si $f$ es plana con fibras geométricamente conectadas y reducidas (por ejemplo $f$ es suave con fibras geométricamente conectadas), entonces el cambio de base para mapas planos (Hartshorne III.9.3) muestra que la fibra mod $P$ de $R^0fY$ es igual a $H^0(Y_P,\mathcal{O}_P)$ (la fibra real sobre $P$ , ahora, no la fibra formal), que es igual a $k(P)$ (el campo de residuos en $P$ ), ya que $Y_P$ es proyectiva, geométricamente reducida y geométricamente conectada sobre $k(P)$ ."

No estoy seguro de que el resultado de Hartshorne lo haga. Necesita que el mapa a lo largo del cual se realiza el cambio de base sea plano (ya que necesitamos que el complejo de Cech siga siendo exacto bajo el cambio de base). En este caso, estamos retrocediendo a lo largo de la inclusión decididamente no plana del punto $P$ en $Y$ y, por tanto, necesitaría la tecnología adicional de semicontinuidad y cambio de base de Hartshorne III.12 (que, por desgracia, es una pieza de mala exposición, OMI).