La cuantificación de Chern número $c_1^n$ 2n dimensiones spin colector de

Question

Todos orientable 2-variedades son spin colectores, y sabemos que la cuantización de la primera Chern número $c_1$ de un complejo paquete de 2-colector es $\mathbb{Z}$.

4-variedades, la segunda Chern número $c_1^2$ de un complejo paquete es $2\mathbb{Z}$ si el colector está tirada, en contraste a $\mathbb{Z}$ para un general de 4-colector.

En general 6-colector, la cuantización de la tercera Chern número $c_1^3$ de un complejo paquete es $\mathbb{Z}$. Sin embargo, si se requiere el 6-colector para ser tirada y ha $p_1=0$, tendremos $c_1^3\in 6\mathbb{Z}$. Este resultado puede encontrarse en la sección 2.2 en http://arxiv.org/abs/hep-th/9603150

Para un general 2n-colector, la cuantización de la $n^\text{th}$ Chern número $c_1^n$ debe $\mathbb{Z}$. La cuestión es que hay alguno de los requisitos en el 2n-colectores (muy probable spin además de otros requisitos), bajo el cual el número de Chern $c_1^n$ es cuantificada a $n! \mathbb{Z}$ o algo que es diferente de la $\mathbb{Z}$?

Para aclarar la declaración, aquí estoy suponiendo implícitamente que los colectores que se mencionan aquí son cerrados y orientable. Por otra parte, en más estándar de los términos matemáticos, esta pregunta es equivalente a la adición extra de divisibilidad de la condición de la Chern números. Gracias por los comentarios sobre estos puntos de @Qiaochu Yuan.

Answer 1

Yo interpreto la pregunta acerca de cuándo tenemos extra de divisibilidad condiciones en Chern números. ("La cuantificación de Chern número" es un poco de una extraña manera de decir esto a un matemático, aunque supongo que, en cierto sentido, más fiel al sentido original de "quantum." En matemáticas "cuantización" generalmente se refiere a un proceso mediante el cual tomamos un clásico objeto y obtener un objeto cuántico.)

Un mecanismo general para la producción de estos divisibilidad de las condiciones es la de Atiyah-Singer índice teorema, que implica lo siguiente: supongamos $X$ es un cerrado giro colector de incluso dimensión $2n$ con trivial $\widehat{A}$ de la clase. A continuación, el $n^{th}$ Chern número de cualquier línea bundle $L$ $X$ es divisible por $n!$. Esto se deduce porque el índice teorema nos dice que

$$\int_X \text{ch}(L) \widehat{A}(X) = \int_X e^{c_1(L)} = \int_X \frac{c_1(L)^n}{n!}$$

es el índice de un cierto operador de Dirac, y, en particular, es un número entero. Esto reproduce el resultado estado para $n = 3$: para reproducir el resultado estado para $n = 2$ tenemos que hacer un poco más de trabajo y aplicar el índice teorema dos veces, la primera vez para el trivial de la línea de paquete. (Una versión más general de este argumento demuestra que se puede relajar la hipótesis: en la parte superior dimensiones de los componentes de la $\hat{A}$-clase de necesidad no se desvanecerá. Por ejemplo, cuando se $n = 4$ todavía estamos a sólo necesitan $p_1$ a desaparecer de manera racional.)

Así que, ¿qué tipo de colectores se han trivial $\widehat{A}$ clase? Esta condición es equivalente a la desaparición de la racional Pontryagin clases de $X$, por lo que en particular se sostiene si $X$ es estable parallelizable (lo que implica también que $X$ es de spin). Por ejemplo, todas las esferas y se encuentran todos los grupos tienen esta propiedad. El racional de Pontryagin también las clases todos se desvanecen si la tangente paquete de $X$ admite un plano de la conexión.