Primeros módulos en los que una ecuación cuadrática dada tiene raíces

Question

Dado un polinomio cuadrático $ax^2 + bx + c$ con $a$ , $b$ y $c$ siendo enteros, ¿existe una caracterización de todos los primos $p$ para la cual la ecuación $$ax^2 + bx + c \equiv 0 \pmod p$$ ¿tiene soluciones?

Lo he visto mencionado que se deduce de la reciprocidad cuadrática que el conjunto es precisamente los primos en alguna progresión aritmética, pero el enunciado puede requerir algún retoque. El conjunto de primos módulo que $1 + \lambda = \lambda^2$ tiene soluciones parece ser $$5, 11, 19, 29, 31, 41, 59, 61, 71, 79, 89, 101, 109, 131, 139, 149, 151, 179, 181, 191, 199, \dots$$ que son ( $5$ y) los primos que son $1$ o $9$ modulo $10$ .

(¿Se puede responder a la pregunta también para las ecuaciones de grado superior?)

Answer 1

Todos los primos, excepto algunos, pueden caracterizarse por la reciprocidad cuadrática. En primer lugar, tratemos los números primos $p$ dividiendo $a$ (hay una solución si y sólo si $c \equiv 0 \bmod p$ o $b \not \equiv 0 \bmod p$ ). Próxima manija $p = 2$ (utilizando el hecho de que $x^2 \equiv x \bmod 2$ por lo que existe una solución si y sólo si $c$ es par o $a + b$ es impar).

Para todos los primos restantes, completa el cuadrado para obtener $$\left( 2ax + b \right)^2 = b^2 - 4ac.$$

Se deduce que existe una solución si y sólo si $\left( \frac{b^2 - 4ac}{p} \right) = 1$ y las condiciones para que esto ocurra vienen dadas por la reciprocidad cuadrática. (Se obtiene una condición de congruencia, pero también hay que tener en cuenta todos los primos que dividen a $b^2 - 4ac$ .)

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La situación de los polinomios de mayor grado es bastante más complicada (y te advierto de antemano que no soy ni mucho menos un experto en estos temas, así que tómate todo lo que digo con un grano de sal). En primer lugar, reduzca WLOG al caso irreducible. Si el grupo de Galois del polinomio es abeliano, entonces por Kronecker-Weber el polinomio se divide sobre alguna extensión ciclotómica, por lo que la forma en que el polinomio se factoriza módulo a un primo está determinada (de nuevo hasta un número finito de excepciones) por las condiciones de congruencia; todo esto forma parte del edificio de teoría del campo de clases . Me han dicho que Reciprocidad de Artin proporciona la generalización apropiada de la reciprocidad cuadrática aquí, pero no conozco los detalles.

Si el grupo de Galois del polinomio es no abeliano entonces los primos son no determinado por las condiciones de congruencia. Se pueden decir algunas cosas sobre su distribución estadística utilizando Teorema de la densidad de Chebotarev pero caracterizarlos realmente es objeto de una investigación en curso y una parte de lo que el Programa Langlands se supone que debe hacer. En esta pregunta del modus operandi se da un ejemplo que relaciona una forma modular específica con las raíces en módulo de los primos del polinomio $x^3 - x - 1$ (o tal vez el polinomio mínimo de un elemento primitivo de su campo de división en su lugar).

Answer 2

Nunca me había fijado en esto.

$$ x^3 - x - 1 \equiv 0 \pmod p $$ tiene una raíz para los primos Impares $p$ con $(-23|p) = -1.$

$$ x^3 - x - 1 \equiv 0 \pmod p $$ tiene tres raíces distintas para impar $p$ con $(-23|p) = 1$ y $p = u^2 + 23 v^2 $ en números enteros.

$$ x^3 - x - 1 \equiv 0 \pmod p $$ no tiene raíces para impar $p$ con $(-23|p) = 1$ y $p = 3u^2 + 2 u v + 8 v^2 $ en números enteros (no necesariamente enteros positivos).

Aquí vamos, no hay raíces $\pmod 2,$ pero una raíz doble y una simple $\pmod {23},$ como $$ x^3 - x - 1 \equiv (x - 3)(x-10)^2 \pmod {23}. $$

Extraño pero cierto. Fácil de confirmar por ordenador para primos de hasta 1000, digamos.

El ejemplo que se puede ver completamente probado en los libros, Irlanda y Rosen por ejemplo, es $x^3 - 2,$ a menudo con la frase "el carácter cúbico de 2" y el tema "reciprocidad cúbica". $2$ es un cubo para los primos $p=2,3$ y cualquier primo $p \equiv 2 \pmod 3.$ También, $2$ es un cubo para los primos $p \equiv 1 \pmod 3$ y $p = x^2 + 27 y^2$ en números enteros. Sin embargo, $2$ no es un cubo para los primos $p \equiv 1 \pmod 3$ y $p = 4x^2 +2 x y + 7 y^2$ en números enteros. (Gauss)

$3$ es un cubo para los primos $p=2,3$ y cualquier primo $p \equiv 2 \pmod 3.$ También, $3$ es un cubo para los primos $p \equiv 1 \pmod 3$ y $p = x^2 + x y + 61 y^2$ en números enteros. Sin embargo, $3$ no es un cubo para los primos $p \equiv 1 \pmod 3$ y $p = 7x^2 +3 x y + 9 y^2$ en números enteros. (Jacobi)