¿Si $B\subset A$ y el existe una inyección $A\rightarrow B$ y $A$ y $B$ tiene la misma cardinalidad?

Question

Usando la definición, la cardinalidad es el mismo foro hay un bijection. Así que si $B\subset A$ y el existe una inyección $f\colon A\rightarrow B$ y $A$ y $B$ tiene la misma cardinalidad.

Answer 1

Cualquier intento de probar este resultado sin usar explícitamente el Cantor–Bernstein–Schroeder Teorema , en efecto, termina por volver a probar el mencionado teorema.

Que nos llame a su declaración de "mini-CBS": Siempre que $B \subseteq A$ son conjuntos tales que hay una inyección de $f : A \to B$,$\left| A \right| = \left| B \right|$.

Ahora podemos probar la CBS Teorema de mini-CBS: Supongamos que $X$ $Y$ son conjuntos, y hemos inyecciones $f: X \to Y$$g : Y \to X$. Consideremos el conjunto a $X^\prime = \{ g(y) : y \in Y \}$. Claramente, $X^\prime \subseteq X$. Tenga en cuenta que $g$ es de hecho un bijection entre el$Y$$X^\prime$, y por lo $\left| X^\prime \right| = \left| Y \right|$. Considere ahora la composición de la $g \circ f : X \to X^\prime$. Desde $f$ $g$ ambos son uno-a-uno, se deduce que el $g \circ f$ es también uno-a-uno. Por mini-CBS se sigue que $\left| X^\prime \right| = \left| X \right|$, y por lo tanto $\left| Y \right| = \left| X \right|$.

Answer 2

Sí es correcto. $B\subset A$ implica que el $|B|\le |A|$. $|A|\le|B|$ De las fuerzas de la inyección. Por lo tanto tienen la misma cardinalidad.