Sólo encuentro los triviales $(m,n,k)$ $(0,0,1), (1,1,4)$
No se puede encontrar más. ¿Hay algún valor más? Más imporantly cómo mostrar esos son los únicos.
Respuestas
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Supongamos $m>0$. Si $2^k = 9^m + 7^n$,$2^k \equiv 1 \pmod 3$, lo $k \equiv 0 \pmod 2$. Poner $k = 2l$ : $7^n = 4^l - 9^m = (2^l - 3^m)(2^l + 3^m)$.
Si $(2^l - 3^m) > 1$, luego que ambos factores son múltiplos de $7$, y por lo tanto así es $3^m$, lo cual es imposible. Por lo tanto $2^l - 3^m = 1$. La única solución a esto es $l=2$ $m=1$ que da el $(1,1,4)$ solución.
Si $m=0$, luego tenemos a $2^k - 7^n = 1$, y las únicas soluciones a este se $k=1,n=0$ $k=3,n=1$ que dan las soluciones $(0,0,1)$$(0,1,3)$.
En ambos casos, el uso del catalán (ahora probado) conjetura, afirmando que la única solución a $x^a - y^b = 1$$a,b > 1$$3^2=1+2^3$.
Oli
Puntos
89
Empezamos como mercio, pero, a continuación, utilizar un simple paridad argumento. Observando la ecuación módulo $3$, podemos ver que $k$ debe ser, incluso, decir $k=2l$. Así $$7^n=(2^l-3^m)(2^l+3^m).$$ Los dos factores de la derecha son relativamente primos, por lo que $$2^l-3^m=1 \qquad \text{and} \qquad 2^l+3^m=7^n,$$ y por lo tanto $$2^{l+1}=7^n+1 \qquad\qquad(\ast)$$ Pero $(\ast)$ no tiene soluciones con $n>1$. Trabajo modulo $16$. Tenga en cuenta que si $w$ es incluso, a continuación,$7^w \equiv 1\pmod{16}$, y por lo tanto si $w$ es impar, a continuación,$7^w \equiv 7 \pmod {16}$.
Si $n>1$ es par, entonces el lado derecho de la $(\ast)$ es congruente a $2$ modulo $16$, mientras que el lado izquierdo es divisible por $4$.
Si $n>1$ es impar, entonces el lado derecho de la $(\ast)$ es congruente a $8$ modulo $16$. Por el lado de la mano izquierda para ser lo suficientemente grande, debe de ser una gran potencia de $2$, por lo que no puede ser congruente a $8$ modulo $16$.
