Problema derivado del análisis real. ¿Cómo puedo demostrarlo?

Question

Ser diferenciable en % que $f$ $[a,b]$y $f(a)=0$. Si $\exists M \in R$ tal que $\vert f'(x) \vert \leq M \vert f(x)\vert \ $, $\forall x \in [a,b]$, entonces el $f(x)=0, \ \forall x \in [a,b]$.

$\\$ tengo una idea, pero can´t verlo claro. He llegado a la desigualdad $\vert f(x)\vert \leq K\vert f(y)\vert $ $y \in (a,x)$, suponiendo $k>0$ y repetir el proceso $\vert f(x)\vert \leq K^n\vert f(z)\vert$ $a<z<y<x$. Si $K<1$, entonces si $n \rightarrow \infty \ $, $f(x)=0$. That´s una especie de idea intuitiva.

Answer 1

Considerar la función diferenciable $g$ definidas en $[a,b]$ $$\color{red}{g(x)=\mathrm e^{-2Mx}f^2(x)}.$ $ para cada $x$ $[a,b]$, $$\color{red}{g'(x)}=2\mathrm e^{-2Mx}(f'(x)f(x)-Mf^2(x))\leqslant2\mathrm e^{-2Mx}(|f'(x)|-M\,|f(x)|)\,|f(x)|\color{red}{\leqslant0}.$$ Thus, the function $g $ is nonincreasing on $ [a, b] $, that is, $g # (x) \leqslant g (a) =0$. Since $g\geqslant0$ by definition, this proves that $g=0$ identically on $ [a, b] $ hence $f = 0 $ identically on $ [a, b] $.

Answer 2

Sugerencia: Recuerde que f diferenciable en $\left[a,b\right]$ entonces es continua en $\left[a,b\right]$... y desde allí utilizar uno de los grandes resultados como el teorema del valor medio por ejemplo.

Answer 3

Podemos demostrar que el reclamo por la contradicción. Asumir que hay x(0) en (a, b] con f(x(0)) no es igual a 0. Podemos suponer que f(x(0)) > 0. Sea a = { x : x en [a, x(0)] y f(x) = 0}. Puesto que f(a) = 0, a es no vacío. Además, está delimitada por encima de así que sup(A) existe. Sea x(1) = sup(A). Por lo tanto hay una squence de números en la que converge a x(1). Puesto que f es continua, Limf(x(n)) = f(x(1)). Y esto significa que f(x(1)) = 0, ya que f(x(n)) = 0 para todo n. Esto muestra que x(1) < x(0). También se muestra que para todo x en (x(1), x(0)], tenemos que f(x) > 0. Por si hay y en (x(1), x(0)] con f(y) < 0 o f(y) = 0, entonces si f(y) = 0, entonces y es en Una y de manera que y < x(1) o y = x(1), sino que y > x(1) una contradicción. Si f(y) < 0, y junto con f(x(0)) > 0 por el Teorema del Valor Intermedio hay una z en (y, x(0)) tal que f(z) = 0. por lo que z está en Una y, a continuación, z < x(1), pero z > y > x(1) el sentido de z > x(1) una contradicción de nuevo. Por lo tanto f(x) > 0 para todo x en (x(1), x(0)]. El próximo considere g(x) = ln(f(x)) (x(1), x(0)]. g es diferenciable en este intervalo. Sea t cualquier número de la forma (x(1), x(0)], y aplicar la media teorema del valor de g en [t, x(0)], tenemos: /g(t) - g(x(0))/ = /g'(c)//t - x(0)/ < M/t - x(0)/ < M*/x(1) - x(0)/. Ahora vamos a t--> x(1)+ tenemos /g(t) - g(x(0))/ ---> + infinito. Una contradicción, ya que está limitada anteriormente por M*/x(1) - x(0)/.