¿Función diferenciable tiene derivado medible?

Question

Que $f:[0,T] \to \mathbb{R}$ ser una función diferenciable. ¿Es cierto que $f'$ es medible?

¿Si es así, esto también es true si $f$ es diferenciable casi por todas partes?

Lo siento por falta de esfuerzo pero no tengo ninguna pista sobre la respuesta.

Answer 1

Aquí es una observación clave: asumir que $f$ es diferenciable y definir

$$f_n(x) = \left\ {\begin{array}{cl} \frac{f(x+1/n)-f(x)}{1/n} & \text{if } 0 \leq x+1/n \leq T \\ 0 & \text{else.} \end{matriz} \right.$$

Entonces, es medir cada $f_n$ y $f_n \rightarrow f$.