¿Se puede recuperar la relación de orden en $\mathbb{R}$ de la topología?

Question

Es bien sabido que la topología usual en $\mathbb{R}$ es inducida por el fin de la relación, desde la apertura de los intervalos de $\{(a, b) : a < b\}$ son una base para la topología.

Me estoy preguntando si usted puede ir a otro lado. Si usted llevó a $\mathbb{R}$ con su colección de bloques abiertos, pero se le olvidó la orden, podría recuperar?

Claramente la respuesta es no, porque el orden inverso $a <^\prime b \equiv_{\text{def}} b < a$ induce la misma topología. Pero en este caso $<^\prime$ $<$ son de orden-isomorfo a través de $x \mapsto -x$.

Así que la pregunta es, ¿se puede recuperar el isomorfismo de la clase de la orden habitual de la simple recopilación de bloques abiertos. Es decir, si usted tiene algunos de los innumerables conjunto con la topología usual en los reales, puede crear una orden de la relación de isomorfo a la habitual?

Answer 1

El orden puede ser reconstruida hasta el isomorfismo, utilizando el hecho de que cada punto de $\Bbb R$ es un punto de corte.

Revisión de distintos puntos de $p,q\in\Bbb R$ y arbitrariamente definir $p<q$. Para cualquier $x\in\Bbb R\setminus\{p,q\}$ exactamente uno de los siguientes sostiene:

• $p$ $q$ están en los diferentes componentes de $\Bbb R\setminus\{x\}$;
• $x$ $q$ están en los diferentes componentes de $\Bbb R\setminus\{p\}$;
• $p$ $x$ están en los diferentes componentes de $\Bbb R\setminus\{q\}$.

En el primer caso $p<x<q$; en el segundo, $x<p<q$; y en la tercera, $p<q<x$. Si $y$ es cualquier otro punto de $\Bbb R\setminus\{p,q\}$, usted puede usar la misma técnica para determinar si $y<p$, $p<y<q$, o $q<y$. Si $x$ $y$ no están en el mismo uno de los conjuntos $(\leftarrow,p)$, $(p,q)$, y $(q,\to)$, el orden correcto entre ellos se sigue inmediatamente. Si ambas están en $(\leftarrow,p)$ o $(p,q)$, aplicar la misma técnica a $x,y$, e $p$ a determinar su orden. Finalmente, si ambos están en $(q,\to)$, aplicar la técnica a $x,y$, e $q$.