El título lo dice todo. Para los no iniciados: Cualquier mapa de $f:V \to W$ induce un mapa de $\wedge^k V \to \wedge^k W$$v_1 \wedge \cdots \wedge v_k \mapsto f(v_1)\wedge \cdots \wedge f(v_k)$, lo $\wedge^k(-)$ es un functor de espacios vectoriales a sí mismo.
Tengo un mapa de $\varphi:\wedge^k V\to \wedge^kV$ y tengo razones para sospechar que este mapa no viene fram un mapa de $\psi:V \to V$.
No estoy seguro de cómo probar esto. Parece que cualquier mapa en la imagen de $\wedge^k(-)$ debe satisfacer algún tipo de Plücker relaciones (similares a los de la Grassmannian), ya que si $\varphi \in \hom(V,V)$ es representado por la matriz de $(x_{ij})$, entonces su imagen en $\hom(\wedge^k V,\wedge^k V)$ ha matriz $(\det_{IJ}(x_{ij}))$ donde $\det_{IJ}$ significa tomar el determinante de la submatriz con índices de $I$$J$.
Yo traté de preguntar Macaulay2 para calcular el ideal de las relaciones, pero incluso en el caso de $\dim V=4$$k=2$, no parece que sea factible el cálculo:
R = QQ[x_1..x_16]
M = genericMatrix(R,4,4)
I = minors(2,M)
numgens I
>> 36
S = QQ[y_1..y_36]
f = map(R,S,gens I)
ker f
>> ......???? <- to much for M2!
¿Hay alguna estrategia para determinar si mi mapa viene de $\hom(V,V)$ otros de computación en estas relaciones? Si no, es la relación entre el $k\times k$-menores de un $n\times n$-matriz conocido?
Gracias.
