es continua en $f(x)$ $\mathbb{R}$, $f_+'(x)$ existe y es continua en $\mathbb{R}$. Prueba que existe de que $f'(x) $ $\mathbb{R}$. Está bien que $|f_+'(x)-f_+'(y)|<\epsilon$ si x e y están encerradas en un intervalo pequeño. Para un fijo x, tenemos $|\frac{f(y)-f(x)}{y-x}-f_+'(x)|<\epsilon$ cuando mucho $y\in (x,x+\delta)$ $\delta$ $x$. Me gustaria saber si hay métodos mejores.
Respuesta
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Usted puede adaptar la prueba del teorema de Rolle, para obtener la siguiente versión generalizada de la MVT: Para $a<b$ existe alguna $c, d\in [a,b]$ tal que $$ f'_+(c) \le \frac{f(b) - f(a)}{b-a} \le f'_+(d).$$ Entonces, la continuidad de la $f'_+$ los rendimientos de la demanda.
Así, por la generalizada del teorema de Rolle y MVT:
Teorema de Rolle: Para $a<b$ si $f(a) = f(b)$ se mantiene, entonces hay algunos $c,d\in[a,b]$$f'_+(c) \le 0 \le f'_+(d)$,
Prueba: Si $f$ alcanza su máximo en $[a,b]$$[a,b)$, luego tome $c$ como maximizer. Si $f$ alcanza su máximo en $b$, también alcanza el máximo en$a$$f(a) = f(b)$. Tome $d$ como mínimo de $f$ $[a,b)$ con un argumento análogo.
MVT: Para $a<b$ existe alguna $c, d\in [a,b]$ tal que $$ f'_+(c) \le \frac{f(b) - f(a)}{b-a} \le f'_+(d).$$
Prueba:Considerar $$g(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b-a} (x-a),$$ que satisface $g(a) = g(b) = f(a)$. Entonces, nuestro teorema de Rolle rendimientos $c,d\in [a,b]$ tal que $$ g'_+(c) = f'_+(c) - \frac{f(b) - f(a)}{b-a} \le 0$$ y $$ g'_+(d) = f'_+(d) - \frac{f(b) - f(a)}{b-a} \ge 0.$$
