simetría de $P$ que es evidente con una definición de los campos pero no con el otro

Question

Supongamos que tenemos una densidad Lagrangiana como $$\mathcal L = -\frac{1}{4} \operatorname{tr} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} + \frac{\theta}{32\pi^2} \operatorname{tr} \big( \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} F_{\mu\nu}F_{\rho\sigma}\big) + \overline{\psi}\gamma^\mu D_\mu \psi$$ donde $F_{\mu\nu}$ es el medidor de intensidad de campo y $D_\mu$ el indicador derivada covariante, y $\psi$ es un fermión de campo. Este Lagrangiano no es $P$ conservación a causa de la $\theta$ plazo.

Sin embargo, si nos redefinir los campos $\psi \mapsto \exp(i\alpha \gamma_5)\psi$ podemos hacer $\theta$ desaparece, eligiendo $\alpha = \theta/2$ según el Fujikawa método (que se describe en [Weinberg], Capítulo 22 o [Fujikawa]); esto es debido a la ruta integral de medir también la transformación en virtud de la redifinition. Con esta redefinición de los campos de $\mathcal L$ es manifiestamente $P$ conservación. Pero seguro que yo no puede conseguir más o menos la simetría mediante la redefinición de los campos, así que ¿cómo debo entender que el $P$ simetría no se manifiesta con la definición original de los campos?

Sospecho que el $P$ transformación también se transforma la ruta integral de medir, de una manera que envía a $\theta \mapsto -\theta$, pero no sé cómo mostrar este.

• [Weinberg] Weinberg, S. La Teoría Cuántica de Campos. 2: Aplicaciones Modernas (Cambridge, 2005).
• [Fujikawa] Fujikawa, K. Ruta de acceso Integral a Medida para Gauge Invariante en el Fermión Teorías. Phys. Apo. Lett. 42, 1195{1198 (18 Abr. 1979).

Answer 1

He encontrado una explicación. Al final de la Sección 22.2, trabajando con Euclidiana camino integrales, Weinberg muestra que $$-\frac{1}{32\pi^2} \int d^4x \epsilon^E_{ijkl}F_{\alpha ij} F_{\beta kl} \operatorname{tr} (t_\alpha t_\beta) = n_+ - n_-$$ donde $t_\alpha$ son de calibre grupo de generadores y $n_\pm$ es el número de cero modos de la medida covariante operador de Dirac $i\gamma^\mu D_\mu$ positivo negativo respectivamente quiral. Este es el Atiyah-Singer índice teorema en el trabajo según Weinberg. (He oído hablar de este teorema antes, pero no estoy familiarizado con él.)

Como consecuencia de esto, en la no-trivial de sectores donde la $\theta$ plazo es distinto de cero, existe al menos un cero en el modo. Una masa de campo entra en el camino de la integral como $\overline\psi \gamma^\mu D_\mu \psi$ y puede ser integrado a cabo $$\mathcal Z =\int D[A_\mu, \ldots] \det (i\gamma^\mu D_\mu) \exp( S_\text{Yang-Mills} [A_\mu] + S_1[\ldots])$$ donde los puntos y $S_1$ soporte en otros campos y sus acciones, y el determinante de la operadora y no a la inversa aparece, ya $\psi$ es de Grassmann. Pero si $\gamma^\mu D_\mu$ tiene un cero en el modo en todos los no-trivial sector... el determinante es 0 en todos los no-trivial de los sectores. Este es efectivamente el mismo que el descarte de la $\theta$plazo!

(Weinberg prueba de los usos que $i\gamma^\mu D_\mu$ $\gamma_5$ anti-commute. Ya que este no es el caso de la bilineal $i\gamma^\mu D_\mu + m$ aparecen masivo del campo, que no le resultan "demasiado" y descartar $P$ violaciones cuando todos los fermiones son enormes.)

He encontrado el cero-modo de argumento en el Capítulo 94 de Srednicki del libro. Srednicki argumenta que por razones físicas $i\gamma^\mu D_\mu$ debe tener un modo cero; en Weinberg del libro se encuentra la prueba matemática de que este es el caso.