En primer lugar, recordemos cómo escribir las amplitudes de dispersión de forma covariante en la QED Minkowskiana.
Se empieza considerando un proceso con un fotón externo cuyo momento se elige como $k^\mu=(k,0,0,k)$ y sean los dos vectores de polarización transversal $\epsilon^\mu_1=(0,1,0,0)$ y $\epsilon_2^\mu=(0,0,1,0)$ . La identidad de Ward nos dice que si la amplitud para el proceso es $\mathcal M=\mathcal M^\mu \epsilon_\mu(k)$ donde hemos factorizado el vector de polarización para el fotón externo en consideración, entonces la amplitud obedece a $\mathcal M^\mu k_\mu=0$ en el caparazón. Con nuestra configuración, esto simplemente nos dice $\mathcal M^0=\mathcal M^3$ . Si calculamos el cuadrado de la amplitud y sumamos las polarizaciones físicas externas, obtendremos $|\mathcal M|^2=\sum_{i\in\{1,2\}}\epsilon_{i\mu}\epsilon_{i\nu}^*\mathcal M^\mathcal M^{*}=|\mathcal M^1|^2+|\mathcal M^2|^2$ . Debido a la identidad de Ward, esto es igual a $\eta_{\mu\nu}\mathcal M^\mu\mathcal M^\nu$ con $\eta_{\mu\nu}={\rm diag}(1,-1,-1,-1)$ y así podemos hacer la sustitución $\sum_{i\in\{1,2\}}\epsilon_{i\mu}\epsilon_{i\nu}^*\to-\eta_{\mu\nu}$ y por tanto es la identidad de Ward la que nos permite escribir covariantemente las amplitudes de dispersión.
¿Cómo se generaliza esto al caso euclidiano donde la métrica es $\delta_{\mu\nu}={\rm diag}(1,1,1,1)$ ? Ingenuamente, necesitamos la firma no euclidiana para reproducir la cancelación entre los cuadrados manifiestamente positivos de los elementos de la matriz como se ha encontrado anteriormente, así que ¿cómo se generaliza este procedimiento al caso euclidiano? Es decir, si la verdadera amplitud de dispersión en el caso euclidiano sigue siendo $|\mathcal M^1|^2+|\mathcal M^2|^2$ entonces parece que esto no puede ser equivalente a $\delta_{\mu\nu}\mathcal M^\mu\mathcal M^{\nu *}$ para cualquier relación de tipo identidad Ward entre los $\mathcal M^\mu$ por lo que no sería posible escribir la amplitud de dispersión de forma manifiestamente covariante.
¿Qué es lo que pasa? ¿Me estoy perdiendo algo obvio? ¿Cambian los grados de libertad del fotón al pasar al espacio euclidiano o algo así?
