El siguiente es un problema de Bayesiana Análisis de Datos 2da edición, pág. 97. Andrew Gelman no ha incluido su solución en la guía en su sitio web y ha sido me vuelve loca todo el día. Literalmente todo el día.
Algunos datos $y$, modelada como una distribución binomial con la población $N$ y la probabilidad de $\theta$ parámetros, ambos de los cuales son desconocidos. El problema de los conjuntos de la cuestión con esta información: (1) Ajuste previo en $N$ es difícil, ya que sólo toma en positivo números naturales, por lo que es tratada como $\Pr(N|\mu) = Poisson(\mu)$ donde $\mu$ es desconocido. (2) Para definir el anterior en $(N, \theta)$,$\lambda=\mu\theta$. (La lógica aquí es que puede ser más fácil formular una antes de considerar la incondicional a la expectativa de las observaciones, en lugar de la media de los no observados $N$.) (3) Un potencial noninformative antes de es $p(\lambda, \theta) \varpropto 1/\lambda$.
La parte del problema que estoy colgado en es cómo transformar las variables y determinar el $p(N, \theta)$.
El enfoque que he intentado es escribir $p(N,\theta|\lambda)p(\lambda, \theta)$, y eliminar los no deseados $\lambda$ a través de la integración, que es $p(N,\theta)=\int_0^\infty C\mu^N/(exp(\mu)\lambda N!)d\lambda$, y la sustitución de salida $\mu$ con la relación $\mu=\lambda/\theta$. Este enfoque reduce a $p(N,\theta)=C/(N+1)$ donde $C$ es la constante de proporcionalidad se introdujo a partir de (3).
Este resultado me preocupa, porque implica que la probabilidad conjunta de que algunos de los valores de $\theta$ $N$ sólo depende de $N$, y no en $\theta$. Además, algunas vagas campanas están sonando desde mi muy decrépito cálculo multivariable, tratando de recordarme sobre Jacobians y transformaciones de coordenadas, pero estoy seguro de que este enfoque de integración es aún apropiado.
Agradezco su ayuda y comprensión.
