Al tomar la integral de $\sec(x)$ ¿Cómo se da el paso decisivo?

Question

Hay que multiplicar con $\frac{\sec(x) + \tan(x)}{\sec(x) + \tan(x)}$ ( http://math2.org/math/integrals/more/sec.htm ), pero ¿cómo se le ocurre esta idea? ¿Hay alguna razón específica para dar ese paso, o es sólo intuición matemática?

Answer 1

Antes de conocer $\sec(x)$ la forma en que solía integrar $\frac{1}{\cos x}$ es multiplicar por $\frac{\cos x}{\cos x}$ y sustituir $u = \sin x$ . Puede que te parezca un poco más "natural".

Answer 2

Bien, queremos multiplicarlo por algún $\frac{f(x)}{f(x)}$ para que $f'(x)=\sec(x)f(x)$ para la $u$ -sub.

Sea $f(x)$ ser de la forma $g(x)+h(x)$ . Nos gustaría encontrar $g(x)$ y $h(x)$ tal que $\sec(x)g(x)$ y $\sec(x)h(x)$ tienen antiderivados conocidos.

Hm... entonces, ¿qué derivados sabemos que implican $\sec(x)$ multiplicado por algo...?

Bueno, eso no es particularmente difícil...

$$\frac{d}{dx}\sec(x)=\sec(x)\tan(x)$$

$$\frac{d}{dx}\tan(x)=\sec^2(x)$$

Así que tendríamos $g(x)=\tan(x)$ y $h(x)=\sec(x)$ dándonos nuestro $f(x)$ .

Luego, el resto es fácil.

Answer 3

Tuvimos un debate sobre esto en mi clase de cálculo -hace muchos años- porque se habló del "truco de magia" que mencionas, pero el libro ("Cálculo de Thomas") utilizaba los cosenos. Yo prefiero el método coseno-fracciones parciales, que expliqué completamente de principio a fin, con varias variaciones, en un sitio web de matemáticas que escribí hace varios años originalmente para preservar cosas que aprendí y quería guardar, y con qué propósito final nunca decidí, pero siéntete libre de mirar. Probablemente apreciarás la primera línea.

http://integralsandmath.altervista.org/math/math.php?f=secx.html

Pero no lo marques; ha tenido otros nombres y puede que vuelva a tenerlos.

p.d. - la parte php de la URL es porque al no tener MathJax o un buen formateador matemático en ese momento, me inventé uno que interpreta math.php.