Desigualdad estricta para Fatou del lema

Question

Estoy interesado en saber si existe una condición general para medir los espacios debajo de la que sabemos que sólo podemos alcanzar la desigualdad estricta de Fatou del lexema. Estoy trabajando en una situación en la que $f_n \rightarrow f$, y el límite de las integrales de hacer existir a fin de que Fatou del lema dice $$\int f \leq \lim_{n \rightarrow \infty} \int f_n \;.$$ Hay una condición en $f_n$ $f$ que asegura $$\int f < \lim_{n \rightarrow \infty} \int f_n \;.$$

Answer 1

Hay una buena discusión de este punto en el ANÁLISIS por Lieb Y Pérdidas (sección 1.9 de la segunda edición): $f_n$ son no negativos y confluyen una.e. a $f$, luego $$\liminf_n\int f_n = \int f +\liminf_n\int|f-f_n|$$ siempre $\sup_n\int f_n<\infty$.