Una forma cerrada para la suma de $(e-(1+1/n)^n)$ $n$

Question

He estado teniendo algunos problemas tratando de encontrar una forma cerrada para esta suma. Parece convergen muy lentamente

Answer 1

$+\infty$ es una buena forma cerrada.

Por el Hermite-Hadamard la desigualdad, tenemos: $$\log\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = n\int_{n}^{n+1}\frac{dx}{x}\leq\frac{n}{2}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}\right)= 1-\frac{1}{2n+2}$$ por lo tanto, por la concavidad de $1-e^{-x}$$\left[0,\frac{1}{4}\right]$: $$ e-\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \geq e\left(1-e^{-1/(2n+2)}\right)\geq\frac{4e}{2n+2}(1-e^{-1/4})\geq\frac{6}{5}\cdot\frac{1}{n+1}. $$ También podemos probar que para cualquier $n\geq 1$

$$ e-\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \geq \frac{e}{2n+2}$$

sostiene. La conclusión es la misma.

Answer 2

Aquí está otro enfoque, el uso de la desigualdad de $e^x\ge1+x$.

$e^x\ge1+x$ implica que el $\log(1+x)\le x$. Por lo tanto, $$ \begin{align} \log\left(1+\frac1k\right)-\log\left(1+\frac1{k+1}\right) &=\log\left(1+\frac1{k(k+2)}\right)\\ &\le\frac1{k(k+2)}\\ &=\frac12\left(\frac1k-\frac1{k+2}\right) \end{align} $$ Por lo tanto, $$ \begin{align} n\log\left(1+\frac1n\right) &=n\sum_{k=n}^\infty\left[\log\left(1+\frac1k\right)-\log\left(1+\frac1{k+1}\right)\right]\\ &\le\frac n2\sum_{k=n}^\infty\left(\frac1k-\frac1{k+2}\right)\\ &=\frac n2\left(\frac1n+\frac1{n+1}\right)\\ &=1-\frac1{2n+2} \end{align} $$ Exponentiating y la aplicación de $e^x\ge1+x$ rendimientos $$ \begin{align} \left(1+\frac1n\right)^n &\le e\cdot e^{-\frac1{2n+2}}\\ &\le\frac e{1+\frac1{2n+2}}\\ &=e\left(1-\frac1{2n+3}\right) \end{align} $$ Por lo tanto, $$ \bbox[5px,border:2px solid #00A0F0]{e-\left(1+\frac1n\right)^n\ge\frac e{2n+3}} $$ Por supuesto, esto lleva a la misma conclusión: la divergencia de la serie.

Answer 3

Una más elementales respuesta a Jack es bueno, pero quizás la respuesta compleja implica mirar en el caso de $k=2$:

$$\sum_{n=1}^\infty \left(1-\frac{n(n-1)}{n^2}\right) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$$

Esencialmente:

$$\begin{align} e-(1+1/n)^n &= \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}\left(1-\frac{(n)_k}{n^k}\right)\\ &\geq \frac{1}{2n} \end{align}$$

puesto que todos los términos de la suma son positivos, y $\frac{1}{2n}$ es el término al $k=2$.