Encontrar $f(x)$ satisfacer $f(2x)=2f(x)+x$

Question

Agradecería si alguien me podría ayudar con el siguiente problema:

Encontrar $f(x)$, dado que:

$f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f$ es continua en a $x=0$, e $f(2x)=2f(x)+x$

Lo intenté, pero no podía conseguir de esa manera.

Answer 1

Tengo un ansatz, pero puedo ni mostrar cómo obtenerlo a partir de su ecuación funcional ni demostrar que es la única solución. De todos modos, aquí está:

$$f(x)=ax+\dfrac{x\ln(x)}{\ln{4}}$$

Lo que da: \begin{align}f(2x)&=2ax+\dfrac{2x\ln{(2x)}}{\ln{4}}\\&=2ax+\dfrac{2x\ln{x}}{\ln{4}}+\dfrac{2x\ln{2}}{\ln{4}}\\&=2f(x)+2x\cdot\dfrac{1}{2}\\&=2f(x)+x\end{align}

conforme a lo solicitado.

(Tenga en cuenta que para pasar de la línea 1 a la 2, se utilizó $\ln{(ab)}=\ln{a}+\ln{b}$, y de la línea 2 a la 3, $\ln{4}=\ln{2^2}=2\ln{2}$).

Answer 2

Sugerencia: ponga $g(x) = \frac{f(x)}{x}$ ($x \ne 0$), y definir $f(0)$ adecuadamente.

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Para ser más explícitos, considere la función $f$ definido por: $$ f(x) = \begin{cases} 0 & (x = 0) \\ \frac{x}{2}\log_2\left\lvert{x}\right\rvert & (x \ne 0) \end{casos} $$ Cada función de $f_a:x\mapsto f(x)+ax$ resuelve el problema y es continua en todas partes.