Hay una validación de la técnica de la prueba por contradicción? O ¿quienes lo usan tomar su validez como un axioma?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?El uso de la prueba por contradicción está estrechamente ligado a la ley del medio excluido. La motivación para la inclusión de este tipo de prueba ordinario de las matemáticas es que pensamos de cada enunciado como verdadero o falso, y pensamos que si una afirmación no es verdadera, entonces su negación es verdadera. Si estamos hablando de la verdad abstracta sobre una estructura particular, a continuación, estos son sin duda evidente principios. Por ejemplo, la estructura podría ser la semiring de números naturales, y la instrucción que se podría decir que existen infinitos números primos. En esta estructura, parece claro que hay una infinidad de números primos (es decir, el conjunto de los números primos es no acotada), o no hay, y que exactamente una de estas alternativas tiene. Así que cuando tomamos la estructura ya dada, y la razón acerca de que las afirmaciones son verdaderas o falsas en la estructura, la lógica clásica es un buen marco para este tipo de razonamiento.
Sin embargo, hay matemáticos de los marcos que no se incluyen en la ley del medio excluido, pero todavía son formas de la prueba por contradicción. Por ejemplo, la costumbre de la formalización de intuitionistic lógica incluye el "ex falso quodlibet" regla: si usted puede probar $P \land \lnot P$, entonces se puede concluir $Q$, para las declaraciones $P$$Q$. Pero esta lógica no se, en general, demuestran $P \lor \lnot P$. Intuitionistic lógica es un buen marco, si pensamos en una estructura tan sólo parcialmente dado, de modo que nuestro conocimiento del conjunto de sus propiedades pueden cambiar a través del tiempo para descubrir más. Para afirmar una oración en esta lógica, debemos saber que el enunciado es verdadero, basado sólo en la parte de la estructura que hemos visto hasta ahora. En esta configuración, puede que no seamos capaces de afirmar $P$ sobre la base de la parte de la estructura que hemos visto, y puede que no seamos capaces de afirmar $\lnot P$ hasta que toda la estructura es conocida; en este caso no podemos afirmar $P \lor \lnot P$ basado solamente en nuestra información parcial. Esta lógica aún demuestra $\lnot (P \land \lnot P)$: es imposible que la parte de la estructura que hemos visto, para satisfacer tanto a $P$$\lnot P$. Una razón por la que el común de las matemáticas no se hace de esta manera es que los matemáticos no pensar en estructuras tales como los números naturales como sólo parcialmente especificado; pensamos en los números naturales como una objeto.
Un marco lógico que no incluye "ex falso quodlibet" ni la ley del medio excluido es conocido como "mínima lógica". Este marco es en su mayoría de interés en la prueba de la teoría, donde se utiliza para el propósito de exponer los resultados en más generalidad.
Una prueba por contradicción funciona de la siguiente manera. Sabemos que algo es verdadero. Vamos a llamar a este algo $A$, sólo por la claridad. Queremos ver si alguna proposición $P$ es cierto. Determinamos que si $P$ es falsa, entonces la $A$ es falso. Pero esto es imposible, tal como la conocemos $A$ es cierto. Por lo tanto, sabemos que $P$ es cierto.
Hay una validación? Sí. Esto se parece a lo que acabo de escribir. Supongo que en cierto modo, depende de nosotros admitir que sabemos algo. En realidad, esto está muy bien en wikipedia
Vamos a "C" denotan el material condicional, "N" negación, 0 falsedad, y leer a través de el polaco esquema de anotación. Entonces la prueba por contradicción puede ser justificado de la siguiente manera:
Tenemos la regla de inferencia de modus ponens.
Hemos CCNp0p como una fórmula verdadera para nuestro fondo de lógica.
Tenemos una regla que dice que "si tenemos la derivación, que comienza con una proposición p y termina con una propuesta de r, podemos inferir Cqr".
Entonces, se deduce que, si asumimos que la negación de una proposición Np como verdadero, y deducir una falsedad, entonces podemos inferir que Np implica una falsedad, o, equivalentemente, CNp0 como verdadero. A continuación, ya que CCNp0p tiene, y hemos modus ponens como una regla de inferencia, podemos inferir la proposición p como verdadero.
Por supuesto, a menudo, con K denota la conjunción, se toma la fórmula de KpNp como una falsedad. Pero, sí existen no-clásica de la lógica donde KpNp no es una falsedad, y aún existen falsedades en esas lógicas. Así, la prueba por contradicción todavía se puede utilizar, por ejemplo por la deducción NCpp como la falsedad, dado que el NCpp siempre tiene valor de verdad de la falsedad, o si Cpp es un teorema, y la negación de un teorema califica como una contradicción.