¿Por qué es que $\mathscr{F} \ne 2^{\Omega}$ ?

Question

De Williams Probabilidad con Martingales :

2.3. Ejemplos de $(\Omega, \mathcal{F})$ pares
Dejamos para más adelante la cuestión de la asignación de probabilidades.

(a) Experimento: Lanzar una moneda dos veces . Podemos tomar $$ \Omega = \{HH, HT, TH, TT\}, \quad \mathcal{F} = \mathcal{P}(\Omega) := \text{set of all subsets of $ \N -Omega $}. $$ En este módulo, el evento intuitivo "Se obtiene al menos una cabeza" se describe mediante el evento matemático (elemento de $\mathcal{F}$ ) $\{HH, HT, TH\}$ .

(b) Experimento: Toin coss infinitamente a menudo . Podemos tomar $$ \Omega = \{H,T\}^{\mathbb{N}} $$ para que un punto típico $\omega$ de $\Omega$ es una secuencia $$ \omega = (\omega_1, \omega_2, \dotsc), \quad \omega_n \in \{H,T\}. $$ Ciertamente queremos hablar del evento intuitivo ' $\omega_n = W$ ' donde $W \in \{H,T\}$ y es natural elegir $$ \color{red}{ \mathcal{F} = \sigma( \{w \in \Omega : \omega_n = W\} : n \in \mathbb{N}, W \in \{H,T\} ) }. $$ Aunque $\color{red}{\mathcal{F} \neq \mathcal{P}(\Omega)}$ (¡acepta esto!), resulta que $\mathcal{F}$ es lo suficientemente grande; [ ]

¿Por qué es que $\mathscr{F} \ne 2^{\Omega}$ ?

¿Cuáles son algunos elementos de $2^{\Omega}$ que no están en $\mathscr{F}$ ?

Answer 1

Le site $\sigma$ -generada por los eventos $\{\omega \in \Omega: \omega_n = W \}$ es el llamado Borel $\sigma$ -álgebra en $\Omega = \{H,T\}^\mathbb{N}$ .

Se puede demostrar, por inducción transfinita (por lo que se necesita algún antecedente de teoría de conjuntos) que hay a lo sumo $|\mathbb{R}| = 2^{\aleph_0}$ muchos conjuntos de Borel, mientras que el conjunto de potencia de $\Omega$ tiene $2^{|\Omega|} = 2^{|\mathbb{R}|}$ muchos subconjuntos, lo que es más por el teorema de Cantor. Así que $\mathcal{F}$ es mucho menor que el conjunto de potencias de todos los subconjuntos de $\Omega$ . Pero sólo se necesitan los conjuntos en $\mathcal{F}$ . También se puede utilizar el axioma de elección para encontrar conjuntos no Borel (la función característica de un ultrafiltro, por ejemplo).

Para completar todos los detalles se requiere alguna teoría que el autor presumiblemente no quería que el lector conociera.

Answer 2

Blackwell & Diaconis ["A non-measurable tail set", en Estadística, probabilidad y teoría de los juegos , pp. 1-5, IMS Lecture Notes Monograph Series, vol. 30, 1996] dan un ejemplo de un subconjunto de $2^{\Bbb N}$ que no es un elemento de $\mathscr F$ . Su construcción utiliza un ultrafiltro libre $\mathscr U$ en $\Bbb N$ . Sea $E\subset 2^{\Bbb N}$ consisten en aquellos $a=(a_1,a_2,\ldots)\in 2^{\Bbb N}$ (así cada $a_i$ es $0$ o $1$ ) tal que $N_a:=\{i\in\Bbb N:a_i=1\}\in\mathscr U$ . Entonces $E\notin\mathscr F$ .