La integral indefinida $\int{\frac{\mathrm dx}{\sqrt{1+x^2}}}$

Question

Necesito resolver esta integral:

$$\int{\frac{\mathrm dx}{\sqrt{1+x^2}}}$$

Primero pensé que era fácil, así que traté de integración por partes con $g(x)=x$$g'(x)=1$:

$$\int{ \frac{x^2}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}} }}\,\mathrm dx $$

Pero me ha hecho que sea aún más complicado que antes, y si quiero resolver de nuevo por partes tendré $g(x)= \frac{x^3}{3}$ , y nunca voy a terminar de integrar.

¿Cómo debo resolverlo?

Editar

Tratando de esta manera: $x= tg(t)$, luego me sale:

$$ \int{ \frac{1+tg^2(t)}{ \sqrt{1+ tg^2(t)} } dt}= \int{ \sqrt{ 1 + tg^2(t) } dt } $$

Pero que no me recuerda nada, todavía no puedo resolver.

Answer 1

Cuando usted ve $1+x^2$ debe sin dudarlo creo que "Vamos a $x=\tan\theta$."

Si usted se siente cómodo hiperbólicas funciones trigonométricas, entonces metacompactness la sugerencia es mejor. :)

Answer 2

su integral puede ser resuelto por $x=\sinh t$ $dx=\cosh t\, dt$ , lo que da $$\int \frac{\cosh t}{\cosh t} \, dt = \int 1\, dt=t=\sinh^{-1} x = \ln (x+\sqrt{x^2+1})+C,$$ desde $\sqrt{1+x^2}=\sqrt{1+\sinh^2 t}=\cosh t$.

Answer 3

Si usted está en un estado de ánimo de los milagros, vamos a $w=x+\sqrt{1+x^2}$. Entonces $$dw= \left(1+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)\,dx=w \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}},$$ y se presenta la necesidad de encontrar $\displaystyle\int \frac{dw}{w}$.

Answer 4

Sólo para completar el OP de la segunda propuesta de solución, por el cambio de las variables de $x=\tan{\theta}$ obtenemos:

$$\int \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}=\int{\sqrt{1+\tan^2\theta}d\theta}=\int \sqrt{\frac{\sin^2 \theta + \cos^2\theta}{cos^2 \theta}}d\theta=\int \frac{d\theta}{\cos\theta}=\int \sec\theta \ d\theta$$

Ahora este es un conocido integral; para tomar, aviso que $\frac{d}{d\theta}\left(\tan\theta + \sec \theta \right)=\sec \theta \left(\tan\theta + \sec \theta \right)$. Así que vamos a escribir la integral como:

$$\int \sec \theta \ d\theta = \int \frac{\sec \theta \left(\tan\theta + \sec \theta \right)}{\left(\tan\theta + \sec \theta \right)}d\theta=\ln \left(\sec \theta + \tan\theta \right)$$

Ahora tenemos que volver a cambiar las variables:

$$\int \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}=\ln \left(\sec \left(\tan^{-1}{x} \right) + \tan\left( \tan^{-1}{x} \right) \right)=\ln \left(\sqrt{1+x^2} + x \right)$$

De la última ecuación, es posible que desee dibujar un derecho-triángulo.