Consideramos que la estructura de Riemann en la esfera de la $\mathbb{S}^n$ visto como un submanifold de $\mathbb{R}^{n+1}$ y la de Laplace-Beltrami operador definido en $C^\infty(\mathbb{S}^n)$ por la ecuación
$$\Delta f= -\operatorname{div}\operatorname{grad} f = -\frac{1}{\sqrt{g}}\frac{\partial}{\partial u^i}\left(\sqrt{g}g^{ij}\frac{\partial f}{\partial u^j}\right).$$
Consideramos que $C^{\infty}(\mathbb{S}^n)$ como una densa subespacio del espacio de Hilbert $L^2(\mathbb{S}^n)$.
Pregunta Es cierto que $\Delta$ ha compacto resolvents, lo que significa que no existe $\lambda \in \mathbb{R}$ tal que el cierre de $\Delta-\lambda$ es invertible y su inversa del operador es compacto?
Creo que podemos trabajar fácilmente fuera el caso especial $n=1$: en este caso la ecuación de $\Delta u-\lambda u = v$ reduce a la norma de Sturm-Liouville problema
$$\begin{cases} -\frac{d^2}{dt^2}u-\lambda u = v & t\in (-\pi, \pi) \\ {}\\ u(-\pi)=u(\pi) \\ u'(-\pi)=u'(\pi)\end{cases}$$
en el que se admite la función de Green para, digamos, $\lambda=-1$ (en realidad cualquier $\lambda \notin \{0, 1, 4, 9 \ldots\}$ va a hacer).
Así que la inversa de a $-d^2/dt^2+1$ es un operador integral y, en particular, es compacto. Sospecho que, de manera similar, el operador $\Delta_{\mathbb{S}^n}+1$ admite la función de Green en cualquier dimensión $n$, pero soy incapaz de demostrar (o refutar) la presente.
Gracias por la lectura.
