Sobre la racionalización de las expresiones

Question

Por ejemplo, la racionalización de expresiones como $$ \frac {1}{ \pm \sqrt {a} \pm \sqrt {b}}$$ Es sencillo. Además, casos como $$ \frac {1}{ \pm \sqrt {a} \pm \sqrt {b} \pm \sqrt {c}}$$ y $$ \frac {1}{ \pm \sqrt {a} \pm \sqrt {b} \pm \sqrt {c} \pm \sqrt {d}}$$

siguen siendo fáciles de racionalizar. Pero mi pregunta es en el caso más general $$ \frac {1}{ \pm \sqrt {a_1} \pm \sqrt {a_2} \cdots \pm \sqrt {a_n}}$$ Donde $n \ge 5$

¿Son siempre racionalizables? Si es así, ¿cómo sería un algoritmo para racionalizarlos? Si no, entonces debe existir una prueba.

Desde mi punto de vista, no puedo encontrar una manera obvia de racionalizar el caso $n=5$ ya que al agrupar a los radicales en un grupo de 3 y un grupo de 2 radicales y luego aplicar la identidad $$(a-b)*(a+b)=a^2-b^2$$ Sólo modifica el denominador de $$ \pm \sqrt {a} \pm \sqrt {b} \pm \sqrt {c} \pm \sqrt {d} \pm \sqrt {e}$$ a $$ \pm v \pm \sqrt {w} \pm \sqrt {x} \pm \sqrt {y} \pm \sqrt {z}$$ ¿Esto ayudará en algo? ¿O se necesita un método o una identidad diferente?

Answer 1

Considere $$P_n(t_1, \ldots ,t_n) = \prod_ { \sigma \in \{-1,1\}^n} \sum_i \sigma_i t_i$$ Probablemente no quieras expandir esto explícitamente por la simbólica $t_i$ pero es un polinomio en el $t_i$ cuyos términos involucran sólo poderes pares (porque es invariable bajo $t_i \to -t_i$ ). Así, $P_n( \sqrt {a_1}, \ldots , \sqrt {a_n})$ es un polinomio en $a_1, \ldots , a_n$ . Entonces para cualquier $ \rho \in \{-1,1\}^n$ , $$ \frac {1}{ \sum_i \rho_i \sqrt {a_i}} = \dfrac { \prod_ { \sigma \ne \rho } \sum_i \sigma_i \sqrt {a_i}}{P_n( \sqrt {a_1}, \ldots , \sqrt {a_n})}$$

Answer 2

El cuadrado de una suma de $n$ raíces cuadradas $ \pm\sqrt a_i$ produce $n(n-1)/2$ términos de la forma $ \pm\sqrt {a_ia_j}$ . Si divides más de $2n$ términos en dos lotes, uno de los lotes tiene más de $n$ condiciones. Desde $n(n-1)/2>2$ cuando $n>2$ nunca podrás llegar más abajo $3$ términos de raíz cuadrada si empiezas con más de $4$ condiciones.

Editar: La respuesta de Robert Israel es la forma de hacerlo, pero esto implica más que multiplicar $a+b$ por $a-b.$

Answer 3

Sí, siempre es posible racionalizar tales expresiones.

Sin perder la generalidad, basta con considerar que la primera raíz cuadrada tiene un signo positivo delante. Entonces, veamos qué sucede si multiplicamos los términos con todas las combinaciones posibles de los signos restantes:

$$ \left ( \sqrt {a}+ \sqrt {b} \right ) \left ( \sqrt {a}- \sqrt {b} \right )=a-b$$

$$ \begin {eqnarray} \left ( \sqrt {a}+ \sqrt {b}+ \sqrt {c} \right ) \left ( \sqrt {a}+ \sqrt {b}- \sqrt {c} \right ) \\ \left ( \sqrt {a}- \sqrt {b}+ \sqrt {c} \right ) \left ( \sqrt {a}- \sqrt {b}- \sqrt {c} \right ) & = & a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac - 2bc \\ \end {eqnarray}$$

Las expresiones resultantes se complican progresivamente (el polinomio resultante será un polinomio homogéneo y simétrico de grado $2^{n-2}$ -- contendrá todas las combinaciones posibles de las variables con todas las combinaciones posibles de exponentes), pero ya no contendrá ninguna de las raíces cuadradas.