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Sobre la racionalización de las expresiones

Por ejemplo, la racionalización de expresiones como 1±a±b1±a±b Es sencillo. Además, casos como 1±a±b±c1±a±b±c y 1±a±b±c±d1±a±b±c±d

siguen siendo fáciles de racionalizar. Pero mi pregunta es en el caso más general 1±a1±a2±an1±a1±a2±an Donde n5n5

¿Son siempre racionalizables? Si es así, ¿cómo sería un algoritmo para racionalizarlos? Si no, entonces debe existir una prueba.

Desde mi punto de vista, no puedo encontrar una manera obvia de racionalizar el caso n=5n=5 ya que al agrupar a los radicales en un grupo de 3 y un grupo de 2 radicales y luego aplicar la identidad (ab)(a+b)=a2b2(ab)(a+b)=a2b2 Sólo modifica el denominador de ±a±b±c±d±e±a±b±c±d±e a ±v±w±x±y±z±v±w±x±y±z ¿Esto ayudará en algo? ¿O se necesita un método o una identidad diferente?

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Matthew Scouten Puntos 2518

Considere Pn(t1,,tn)=σ{1,1}niσitiPn(t1,,tn)=σ{1,1}niσiti Probablemente no quieras expandir esto explícitamente por la simbólica titi pero es un polinomio en el titi cuyos términos involucran sólo poderes pares (porque es invariable bajo titititi ). Así, Pn(a1,,an)Pn(a1,,an) es un polinomio en a1,,ana1,,an . Entonces para cualquier ρ{1,1}nρ{1,1}n , 1iρiai=σρiσiaiPn(a1,,an)1iρiai=σρiσiaiPn(a1,,an)

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El cuadrado de una suma de nn raíces cuadradas ±ai±ai produce n(n1)/2n(n1)/2 términos de la forma ±aiaj±aiaj . Si divides más de 2n2n términos en dos lotes, uno de los lotes tiene más de nn condiciones. Desde n(n1)/2>2n(n1)/2>2 cuando n>2n>2 nunca podrás llegar más abajo 33 términos de raíz cuadrada si empiezas con más de 44 condiciones.

Editar: La respuesta de Robert Israel es la forma de hacerlo, pero esto implica más que multiplicar a+ba+b por ab.ab.

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fattire Puntos 716

Sí, siempre es posible racionalizar tales expresiones.

Sin perder la generalidad, basta con considerar que la primera raíz cuadrada tiene un signo positivo delante. Entonces, veamos qué sucede si multiplicamos los términos con todas las combinaciones posibles de los signos restantes:

(a+b)(ab)=ab(a+b)(ab)=ab

(a+b+c)(a+bc)(ab+c)(abc)=a2+b2+c22ab2ac2bc

Las expresiones resultantes se complican progresivamente (el polinomio resultante será un polinomio homogéneo y simétrico de grado 2n2 -- contendrá todas las combinaciones posibles de las variables con todas las combinaciones posibles de exponentes), pero ya no contendrá ninguna de las raíces cuadradas.

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