La Transformada De Fourier $\displaystyle{F}^{-1}({e^{i\xi^3t}})$

Question

El problema es$$u_t+u_{xxx}=0,u(x,0)=f(x),$$ El uso de la transformada de Fourier obtenemos$$\overline{u}=e^{i\xi^3t}\overline{f},$$I want to solve out $u$ . Por lo tanto quiero saber $\displaystyle{F}^{-1}({e^{i\xi^3t}})$,luego de lo que puedo expresar $u$ en la forma de la convolución.alguien me puede ayudar?

Answer 1

El procedimiento tiene problemas. Ya que si puedes resolver este PDE por la transformada de Fourier que usted pierda su forma más general de la solución.

Por lo que su procedimiento debe ser modificado de la siguiente manera:

Deje $u(x,t)=X(x)T(t)$ ,

A continuación, $X(x)T'(t)+X'''(x)T(t)=0$

$X(x)T'(t)=-X'''(x)T(t)$

$\dfrac{T'(t)}{T(t)}=-\dfrac{X'''(x)}{X(x)}=i\xi^3$

$\begin{cases}\dfrac{T'(t)}{T(t)}=i\xi^3\\X'''(x)+i\xi^3X(x)=0\end{cases}$

$\begin{cases}T(t)=c_4(\xi)e^{it\xi^3}\\X(x)=\begin{cases}c_1(\xi)e^{ix\xi}+c_2(\xi)e^{-\frac{ix\xi}{2}}\sinh\dfrac{\sqrt{3}x\xi}{2}+c_3(\xi)e^{-\frac{ix\xi}{2}}\cosh\dfrac{\sqrt{3}x\xi}{2}&\text{when}~\xi\neq0\\c_1x^2+c_2x+c_3&\text{when}~\xi=0\end{cases}\end{cases}$

$\therefore u(x,t)=C_1x^2+C_2x+C_3+\int_{-\infty}^{\infty}C_4(\xi)e^{i(t\xi^3+x\xi)}~d\xi+\int_{-\infty}^{\infty}C_5(\xi)e^{\frac{i(2t\xi^3-x\xi)}{2}}\sinh\dfrac{\sqrt{3}x\xi}{2}d\xi+\int_{-\infty}^{\infty}C_6(\xi)e^{\frac{i(2t\xi^3-x\xi)}{2}}\cosh\dfrac{\sqrt{3}x\xi}{2}d\xi$

$u(x,0)=f(x)$ :

$C_1x^2+C_2x+C_3+\int_{-\infty}^{\infty}C_4(\xi)e^{ix\xi}~d\xi+\int_{-\infty}^{\infty}C_5(\xi)e^{-\frac{ix\xi}{2}}\sinh\dfrac{\sqrt{3}x\xi}{2}d\xi+\int_{-\infty}^{\infty}C_6(\xi)e^{-\frac{ix\xi}{2}}\cosh\dfrac{\sqrt{3}x\xi}{2}d\xi=f(x)$

$\int_{-\infty}^{\infty}C_4(\xi)e^{ix\xi}~d\xi=f(x)-C_1x^2-C_2x-C_3-\int_{-\infty}^{\infty}C_5(\xi)e^{-\frac{ix\xi}{2}}\sinh\dfrac{\sqrt{3}x\xi}{2}d\xi-\int_{-\infty}^{\infty}C_6(\xi)e^{-\frac{ix\xi}{2}}\cosh\dfrac{\sqrt{3}x\xi}{2}d\xi$

$C_4(\xi)=2\pi\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\xi x}~dx+C_1\delta''(\xi)+iC_2\delta'(\xi)-C_3\delta(\xi)-2\pi\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i\xi x}\int_{-\infty}^{\infty}C_5(\xi)e^{-\frac{ix\xi}{2}}\sinh\dfrac{\sqrt{3}x\xi}{2}d\xi~dx-2\pi\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i\xi x}\int_{-\infty}^{\infty}C_6(\xi)e^{-\frac{ix\xi}{2}}\cosh\dfrac{\sqrt{3}x\xi}{2}d\xi~dx$

$\therefore u(x,t)=C_1x^2+C_2x+C_3+2\pi\int_{-\infty}^{\infty}e^{i(t\xi^3+x\xi)}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\xi x}~dx~d\xi+C_1\int_{-\infty}^{\infty}\delta''(\xi)e^{i(t\xi^3+x\xi)}~d\xi+iC_2\int_{-\infty}^{\infty}\delta'(\xi)e^{i(t\xi^3+x\xi)}~d\xi-C_3\int_{-\infty}^{\infty}\delta(\xi)e^{i(t\xi^3+x\xi)}~d\xi-2\pi\int_{-\infty}^{\infty}e^{i(t\xi^3+x\xi)}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i\xi x}\int_{-\infty}^{\infty}C_5(\xi)e^{-\frac{ix\xi}{2}}\sinh\dfrac{\sqrt{3}x\xi}{2}d\xi~dx~d\xi-2\pi\int_{-\infty}^{\infty}e^{i(t\xi^3+x\xi)}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i\xi x}\int_{-\infty}^{\infty}C_6(\xi)e^{-\frac{ix\xi}{2}}\cosh\dfrac{\sqrt{3}x\xi}{2}d\xi~dx~d\xi+\int_{-\infty}^{\infty}C_5(\xi)e^{\frac{i(2t\xi^3-x\xi)}{2}}\sinh\dfrac{\sqrt{3}x\xi}{2}d\xi+\int_{-\infty}^{\infty}C_6(\xi)e^{\frac{i(2t\xi^3-x\xi)}{2}}\cosh\dfrac{\sqrt{3}x\xi}{2}d\xi=2\pi\int_{-\infty}^{\infty}e^{i(t\xi^3+x\xi)}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\xi x}~dx~d\xi-2\pi\int_{-\infty}^{\infty}e^{i(t\xi^3+x\xi)}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i\xi x}\int_{-\infty}^{\infty}C_5(\xi)e^{-\frac{ix\xi}{2}}\sinh\dfrac{\sqrt{3}x\xi}{2}d\xi~dx~d\xi-2\pi\int_{-\infty}^{\infty}e^{i(t\xi^3+x\xi)}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i\xi x}\int_{-\infty}^{\infty}C_6(\xi)e^{-\frac{ix\xi}{2}}\cosh\dfrac{\sqrt{3}x\xi}{2}d\xi~dx~d\xi+\int_{-\infty}^{\infty}C_5(\xi)e^{\frac{i(2t\xi^3-x\xi)}{2}}\sinh\dfrac{\sqrt{3}x\xi}{2}d\xi+\int_{-\infty}^{\infty}C_6(\xi)e^{\frac{i(2t\xi^3-x\xi)}{2}}\cosh\dfrac{\sqrt{3}x\xi}{2}d\xi$

Answer 2

Usted debe echar un vistazo a la función de Airy. Se transforma así:

$$ \mathcal{F} [\textrm{Ai}(x)](k) = e^{\frac{i}{3}(2\pi k)^{3}}$$

y con la adecuada manipulación que se puede utilizar para resolver su problema.