Deje $R$ ser un no-calificadas negativamente Noetherian anillo tal que $R_{0}$ es Artinian y $R_{+}$ es nilpotent ideal. Demostrar que $R$ es Artinian. Dar un ejemplo para demostrar que esto es falso si el Noetherian propiedad es eliminado.
Este es un ejercicio de una nota que vi en Internet. No puedo resolverlo. Por favor me ayude. Gracias!
Por su asunción, $R_+$ es nilpotent, entonces por supuesto que la dimensión de krull de $R$ es lo mismo que $R/R_+=R_0$ que es cero. Un anillo conmutativo es Artinian si y sólo si es Noetherian y de dimensión cero. Por lo $R$ es Noetherian y de dimensión cero, por lo tanto es Artinian. Hemos terminado!
Contra-ejemplo: omitir
Aquí es cómo el problema desplegado para mí. ($rad(R)$ denota el Jacobson radical, para mí).
La primera cosa que he notado es que el $R_0\cong R/R^+$ es un Artinian anillo, y desde $R^+$ fue dado para ser nilpotent está contenida en $rad(R)$, y así yo tenía alguna esperanza de que $R^+=rad(R)$, de modo que podía usar el Hopkins-Levitzki Teorema.
¿La clasificación implican $R^+=rad(R)$? Esto mantendrá si $rad(R/R^+)=\{0\}$, y para Artinian anillos uno sólo necesita comprobar que $R/R^+$ no tiene nilpotent distinto de cero ideales. Si $K\supsetneq R^+$ fueron nilpotent, entonces no tendría que ser alguna $x\in K\setminus R^+$ que fue nilpotent: pero esto implica que hay un grado 0 el elemento $x$ tal que $x^n\in R^+$, lo cual es un absurdo. Por lo $R/R^+$ es semisimple artinian, y por lo tanto $R^+=rad(R)$.
La invocación de la Hopkins-Levitzki teorema, un anillo tal que $R/rad(R)$ es Artinian y $rad(R)$ es nilpotent es derecho Artinian iff derecho Noetherian. Ya que estamos, dado que el $R$ es Noetherian en ambos lados, $R$ es Artinian en ambos lados.
Me gustaría invitar a usted a pesar de encontrar su propia solución, posiblemente uno que no tiene que invocar el H-L Teorema :)
Déjame darte una pista para el contraejemplo: comenzar con un polinomio de anillo en countably muchos indeterminates $\mathbb{F}[x_1,x_2,\dots]$ y ver si se puede hacer una gradual anillo cuyo conjunto $R^+$ es nilpotent.
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