Hermitian operadores (o más correctamente, en el infinito dimensional caso, la auto-adjunto operadores) no son utilizados debido a que las mediciones deben utilizar los números reales, sino porque casi siempre se deciden a utilizar los números reales.
Como el OP menciona en un momento, usted puede elegir el uso de los números complejos para la etiqueta de una pantalla de dos dimensiones, y en el caso de que usted será capaz de utilizar lo que se denomina normal operador para representar el 2 dimensiones observables. (Contrariamente a lo que Dirac pensamiento, nada va mal aquí.)
No debería ser demasiado difícil para aceptar mi siguiente afirmación: Usted puede usar cualquier escala de medida que se desea medir una observables cuánticos! Puede etiquetar puntero posiciones con elementos de fruta si usted quiere, y usted puede construir perfectamente legítimo observable.
No hay duda de que los reales y los complejos tienen enormes ventajas sobre otros más arbitrario escalas de medición (debido a su rica estructura interna que aprovechamos en el análisis funcional), pero la idea de que los números reales son, de alguna manera, dotado de un prestigioso metafísica de estado es una tontería.
Cómo definir un observable con cualquier escala de medida que desee
Paso 1. Emplear un conjunto de detectores de partículas
Paso 2. Adjuntar una etiqueta para cada detector
El conjunto de etiquetas que vamos a denotar por $\Omega$. Los ejemplos incluyen: $$\Omega = \{0,1\},\mathbb{R},\mathbb{C},\{\heartsuit,\clubsuit,\diamondsuit,\spadesuit\}$$
Paso 3. Escribir la lista de todos los eventos posibles
Por caso, me refiero a un subconjunto $\Delta$ $\Omega$ que representa una posible pregunta como "¿un detector en $\Delta$ fuego?". Vamos a la etiqueta de la estructura de eventos $\Sigma$, por ejemplo,
$$\Sigma = \{\emptyset,\heartsuit,\clubsuit,\diamondsuit,\spadesuit,\heartsuit\clubsuit,\heartsuit\diamondsuit, \cdots,\heartsuit\clubsuit\diamondsuit\spadesuit\}$$
Paso 4. Asociar a cada evento en $\Sigma$, con una proyección de operador
Esta es la parte dura, y no hay ninguna receta para ella. Pero usted tiene que asegurarse de que la familia de proyectores de forma un álgebra Booleana que refleja perfectamente el natural álgebra de $\Sigma$.
Vamos a llamar a la asociación de $\sigma$, por lo que el $\sigma:\Sigma\to\mathscr{P}(\mathscr{H})$.
Y básicamente eso es! El objeto de $\sigma$ (técnicamente, una Proyección de valores de Medida en $\langle\Omega,\Sigma\rangle$) es un quantum observable. Contiene todos los probabilística de la información que usted necesita para calcular la probabilidad de medir en su elección de la escala de medida para cualquier estado cuántico.
Por ejemplo, supongamos que el estado del sistema es $\rho$ y desea que la probabilidad de que un detector $\Delta\in\Sigma$ incendios. La probabilidad deseada es sólo $p=tr[\rho\sigma(\Delta)]$.
Qué diablos tiene que ver esto con uno mismo-Adjoint operadores?
Estás listo para el clímax? Aquí está...
SI usted elige utilizar la escala de medida $\langle\mathbb{R},\mathscr{B}(\mathbb{R})\rangle$, ENTONCES usted será capaz de construir un auto-adjunto del operador, que es precisamente equivalente (en términos de la información que se almacena) para el PVM se construye.
SI usted elige una pantalla de detección de calibrado por $\langle\mathbb{C},\mathscr{B}(\mathbb{C})\rangle$, a CONTINUACIÓN, repita la frase sustitución de 'auto-adjunto' con 'normal'.
(Ninguna de las afirmaciones anteriores es obvio, por la forma. Son famosos los resultados en el Análisis Funcional se conoce como el espectro de Teoremas.)
SI usted elige a ser un Fancy Nancy y el uso de $\{\heartsuit,\clubsuit,\diamondsuit,\spadesuit\}$ para una escala de medición (con su juego de poder de la estructura del evento) , a CONTINUACIÓN, los frutos de tus labores son más modestos. En particular, usted todavía obtener las respuestas a todas las preguntas que quieras, pero no obtiene ningún limpio operador para darle computacional accesos directos. En lugar de que usted siempre será hacer cálculos como $p=tr[\rho\sigma(\heartsuit\clubsuit)]$.
Ni siquiera he tocado vectores propios, pero baste decir que no tienen una condición fundamental en la teoría.
No hay duda de que podemos aprender algo de la lectura de las obras de los grandes maestros, pero teniendo que trabajar como el estado de juego puede enviar de vuelta de un siglo. Hemos aprendido mucho desde que Einstein y Dirac.
