Demostrar $\int_{C}fdr=\int_{S}dS\times\nabla f$

Question

Demostrar $\displaystyle \int_{C}fdr=\int_{S}dS\times\nabla f$. donde $C=\partial S$ y la relación usual entre las orientaciones que espera.

Aplicar el teorema de Stokes a $F=af$ donde $a$ es una constante arbitraria vector.

A partir de esta identidad y debido a $\nabla \times \mathbf{a = 0 },$$\nabla\times F=0 + \nabla f \times a$.

Mus $(\nabla\times F)\cdot d\mathbf{ S }= (\nabla f \veces) \cdot d\mathbf{ S } = d\mathbf{ S }\times \nabla f) \cdot$, gracias a la respuesta de abajo.

Entonces el teorema de Stokes para arbitrario implica un $\int_{C}f \mathbf{ a } \; d\mathbf{ r } = \iint_S (d\mathbf{ S }\times \nabla f) \cdot un$.

Mi preocupación: ¿Cómo debo proceder? Por favor, explique los pasos en detalle?

Answer 1

Recuerde que $$(v\times w)\cdot z = \det(v,w,z) = \det (z,v,w) = (z\times v)\cdot w$$ y aplicar esto a $v= \nabla f$, $w=a$, $z=ds$

Answer 2

Aplicar el Kelvin-teorema de Stokes para el campo de vectores $fa$:

$$\oint fa \cdot dr = \int (\nabla \times [af]) \cdot dS$$

El uso de cálculo vectorial identidades escribir

$$\nabla \times [af] = f \nabla \times a + \nabla f \times a$$

Desde $\nabla \times a = 0$, obtenemos

$$\oint f a \cdot dr = \int (\nabla f \times a) \cdot dS$$

El triple producto puede ser cíclicamente permutada, produciendo

$$\oint fa \cdot dr = \int (dS \times \nabla f) \cdot a$$

Desde $a$ es constante, se puede mover fuera de ambas integrales, la forma de mover una constante escalar fuera de la integral:

$$a \cdot \oint f \, dr = a \cdot \int dS \times \nabla f$$

$a$ se ha elegido arbitrariamente; esto es cierto para todos los $a$, por lo que se puede "cancelar" $a$. Si uno debe pensar que es más rigurosamente, mira esta expresión anterior como una función lineal de la $a$. Tomar un gradiente de dicha función con respecto a $a$. El resultado de los gradientes son iguales en ambos lados. El resultado es

$$\oint f \, dr = \int dS \times \nabla f$$