¿Por qué yo estaba equivocado acerca de la monstruo-joya de enigma

Question

Cada semana me gusta hacer el fivethirtyeight.com Enigma, una interesante y agradable difícil (al menos para mí) semanal de rompecabezas de matemáticas que sale los viernes, con la respuesta y explicación a la anterior problema se suministra cuando el nuevo es publicado. Yo miraba a la solución de la semana pasada en el problema, y aunque entiendo la explicación, estoy en una pérdida en cuanto a por qué mi enfoque producido una respuesta incorrecta.

El problema es el siguiente: estás jugando a un juego en el que matar a los monstruos. Cada vez que matas a un monstruo, cae una joya, la que luego de recoger. Las gemas pueden ser comunes, poco comunes o raras, con probabilidades ${1\over2}$, ${1\over3}$, y ${1\over6}$, respectivamente. Si jugar hasta que tenga 1 gema de cada tipo, cómo muchas de las gemas se tiene en promedio?

La respuesta oficial es de 3,65, y la explicación está disponible aquí (desplácese hacia abajo más allá de la introducción y el hoy de puzzle-no del todo de la mitad hacia abajo de la página). Mi respuesta fue de 4.65 (muy interesante, que yo estaba fuera por exactamente 1), y mi razonamiento fue el siguiente:

Es posible que usted recoger otras rarezas antes de encontrar su primer comunes de la gema. Esto ocurre con probabilidad de $ {1 \over 3} * {1 \over 4} +{1 \over 6 }*{2\over5}={3\over20}$. En dichos casos, se detendrá después de encontrar su primer comunes de la gema, y el número que hemos recogido (en adelante,"$N$) será 1.

En todos los demás casos, el juego debe proceder en dos fases:

Fase 1: se puede encontrar un número $N_a$ (posiblemente 0) de común gemas seguido por una sola no-común gema (de tipo $a$)

Fase 2: se puede encontrar un número $N_b$ (posiblemente 0) de común gemas, mezclado con un irrelevante número de tipo de $a$ gemas, seguido por una sola joya de los otros no-tipo común (tipo $b$).

Ahora hago un par de simplificación de las observaciones. En primer lugar, dado el caso abordado por encima de donde el común de la gema fue el último que hemos encontrado corresponde al caso en el que se $N_a=N_b=0$, no necesitamos quitar explícitamente este caso para evitar la doble contabilización. Representa la situación en la que $N$ supera $N_a+N_b$ más que un caso de estudio 2-fase de modelo no se aplica en absoluto.

Segundo, para determinados tipos de $a$ y $b$, $N_a$ y $N_b$ son independientes, porque el individuo joya gotas son independientes.

En tercer lugar, porque no son (por definición) no escriba $b$ gemas se encuentran en la fase 1 y escriba $a$ gemas se encuentran en la Fase 2 son irrelevantes, no importa que no de tipo común (raras o poco frecuentes) es de tipo $a$ y que es de tipo $b$ debido a que en ambos casos $N_{rare}$ (el número de la común de las gemas se encuentran en la fase terminada por una rara gema) será un geométricamente distribuidos variable aleatoria con $p=$ (la probabilidad de una rara joya que se cayó, dado que una rara gema no ha caído) $= {1\over4}$, e igualmente para $N_{uncommon}$.

Así tenemos $$E[N]=E[N_{rare}]+E[N_{uncommon}]+{3\over20}=\frac{3\over5}{2\over5}+\frac{3\over4}{1\over4}+{3\over20}={3\over2}+3+{3\over20}={93\over20}=4.65$$

Lo que está mal con este método?

Answer 1

Hay un sutil error en su razonamiento. Que efectivamente está acondicionado en el cual los no-común tipo de gema que ocurra primero. Su cálculo para la fase de $2$ es correcta: La no-común tipo de gema ya se ha visto en la fase de $1$ se ha vuelto irrelevante, y sólo la relación de las probabilidades de los otros dos tipos de joyas de la materia.

Pero esto no funciona en fase de $1$, debido a que la duración de la fase de $1$ es influenciado por el condicionamiento. Quizás pueda ver con más claridad si se imagina el "raro" tipo de gema que tiene probabilidad cercana a $1$. Entonces si la condición en la joya rara tipo que aparece antes que el "raro" tipo de gema, puede estar casi seguro de no obtener ningún "común" de las gemas en la fase de $1$, no importa lo mucho más probable que ellos son de las gemas raras, simplemente porque es tan improbable que más de una joya no sería "raro". Este argumento no se aplica a la fase de $2$, donde el tipo de gema que excluyen realmente no importa; incluso si se ha probabilidad cercana a $1$ y reunir a miles de ese tipo, usted todavía puede ignorarlos para el propósito de calcular el número de gemas recogidos antes de su encuentro con el tercer tipo.

P. S.: Es quizás vale la pena mencionar aquí otro bonito y relativamente simple de enfoque, que también es mencionado después de la solución a la que enlaza. El total estimado de la cantidad de gemas dibujado es el total estimado de la cantidad de cupones que se dibujan en un cupón de coleccionista problema con probabilidades desiguales (véase, por ejemplo, El Cupón de Coleccionista Problema):

$$ \frac1{\frac12}+\frac1{\frac13}+\frac1{\frac16}-\frac1{\frac12+\frac13}-\frac1{\frac13+\frac16}-\frac1{\frac16+\frac12}+\frac1{\frac12+\frac13+\frac16}=\frac{73}{10}\;. $$

El número esperado de común gemas dibujado es la mitad de este. Es un buen ejercicio para pensar acerca de por qué esto es cierto, aunque no es cierto cuando la condición sobre el número total de gemas dibujado.