En mi clase de álgebra lineal, sólo hablamos de los determinantes. Hasta ahora he sido conocer el material está bien, pero ahora estoy muy confundida. Entiendo que cuando el determinante es cero, la matriz no tiene inversa. No puedo encontrar el determinante de una \times 2$ matrix by the formula. Our teacher showed us how to compute the determinant of an $N \times N$ matriz por romperlo en los determinantes de las matrices más pequeñas, y al parecer hay una manera por la suma de más de un grupo de permutaciones. Pero la notación es muy difícil para mí y yo no sé realmente lo que está pasando con ellos nunca más. Alguien me puede ayudar a averiguar lo que un factor determinante es, intuitivamente, y cómo todas esas definiciones de la misma están relacionados?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Sus problemas con los determinantes es bastante común. Son una cosa difícil de enseñar bien, también, por dos razones principales por las que puedo ver: las fórmulas que aprender para el cómputo de ellos son confusa y complicada, y no hay ninguna forma "natural" para interpretar el valor de la determinante, el camino es fácil interpretar los derivados que hacer en el cálculo de la pendiente de la línea tangente. Es difícil creer que cosas como el invertibility condición de que usted haya declarado cuando ni siquiera está claro qué significan los números y de dónde vienen.
En lugar de mostrar que las muchas definiciones usuales son todos de la misma mediante la comparación de uno con el otro, voy a enunciar algunas de las propiedades generales de la determinante de que yo reclamo es suficiente para especificar de forma exclusiva a qué número se debe obtener cuando se pone en una matriz dada. Entonces no es demasiado malo para comprobar que todas las definiciones para el factor determinante que ha visto satisfacer esas propiedades que voy estado.
La primera cosa a pensar si quieres un "resumen" de la definición del determinante de unificar a todos los demás es que no es una matriz de números con las barras en el lado. Lo que realmente estamos buscando es una función que toma N vectores (N columnas de la matriz) y devuelve un número. Supongamos que estamos trabajando con números reales, por ahora.
Recuerde cómo las operaciones en las que usted ha mencionado cambiar el valor de la determinante?
La conmutación de dos filas o columnas cambia el signo.
Multiplicar una fila por una constante se multiplica todo el determinante por el que constante.
El hecho general de que el número dos sorteos: el factor determinante es lineal en cada fila. Es decir, si usted piensa en ello como una función de $\det: \mathbb{R}^{n^2} \rightarrow \mathbb{R}$, then $$ \det(a \vec v_1 +b \vec w_1 , \vec v_2 ,\ldots,\vec v_n ) = a \det(\vec v_1,\vec v_2,\ldots,\vec v_n) + b \det(\vec w_1, \vec v_2, \ldots,\vec v_n),$$ y la condición correspondiente en cada una de las otras ranuras.
El determinante de la matriz identidad $I$ is $.
Me dicen que estos hechos, junto con el hecho de que el determinante de la matriz identidad es uno, es suficiente para definir una función única que toma en N vectores (cada uno de longitud N) y devuelve un número real, el determinante de la matriz dada por los vectores. No voy a probar eso, pero te voy a mostrar cómo ayuda con algunas otras interpretaciones de la determinante.
En particular, hay una buena forma geométrica a pensar en un factor determinante. Considere la posibilidad de la unidad de cubo de N dimensiones del espacio: el conjunto de vectores de longitud N con las coordenadas de 0 o 1 en cada lugar. El determinante de la transformación lineal (matriz) T es el firmado de volumen de la región conseguido mediante la aplicación de T para la unidad de cubo. (No se preocupe demasiado si usted no sabe lo que es el "firmado" parte significa, por ahora).
¿Cómo seguir a partir de nuestra definición abstracta?
Así, si se aplica la identidad de la unidad de cubo, obtiene la unidad de cubo. Y el volumen de la unidad de cubo es 1.
Si se estira el cubo por un factor constante en una dirección solamente, el nuevo volumen es constante. Y si la pila de dos bloques alineados en la misma dirección, su volumen combinado es la suma de sus volúmenes: todo esto muestra que la firmó el volumen que tiene es lineal en cada coordenada, cuando se la considera como una función de los vectores de entrada.
Finalmente, cuando el interruptor de dos de los vectores que definen la unidad de cubo, se tapa la orientación. (De nuevo, esto es algo para volver más tarde si usted no sabe lo que significa).
Así que hay maneras de pensar acerca de los determinantes que no son el símbolo de empujar. Si usted ha estudiado cálculo multivariable, usted podría pensar, con esta definición geométrica del determinante, ¿por qué determinantes (el Jacobiano) pop-up cuando hacemos un cambio de coordenadas haciendo de la integración. Sugerencia: un derivado es un aproximaciones lineales de la función correspondiente, y considere la posibilidad de un "elemento de volumen diferencial" en el motor de arranque sistema de coordenadas.
No es demasiado trabajo para verificar que el área del paralelogramo formado por los vectores $(a,b)$ and $(c,d)$ is $\Big|{}^{a\;b}_{c\;d}\Big|$ o bien: usted puede tratar de que para conseguir un sentido de las cosas.
Se podría pensar en un factor determinante como un volumen. Creo que una de las columnas de la matriz como de los vectores en el origen de la formación de los bordes de una sesgada cuadro. El determinante da el volumen de la caja. Por ejemplo, en 2 dimensiones, las columnas de la matriz son los bordes de un rombo.
Se puede derivar de las propiedades algebraicas de esta interpretación geométrica. Por ejemplo, si dos de las columnas son linealmente dependientes, su caja le falta una dimensión y así ha sido aplanado tener un volumen cero.
Además de las respuestas anteriores, el determinante es una función de un conjunto de conjunto de las matrices cuadradas en los números reales que conserva la operación de la multiplicación: \begin{ecuación}\det(AB) = \det(A)\det(B) \end{ecuación} y por lo que conlleva $some$ información acerca de las matrices cuadradas en el mucho más familiar, el conjunto de los números reales.
Algunos ejemplos:
El determinante de la función de los mapas de la matriz de identidad $I$ to the identity element of the real numbers ($\det(I) = 1$.)
Que número real ¿ no tiene un inverso multiplicativo? El número 0. De manera que las matrices cuadradas ¿ no tienen inversos multiplicativos? Aquellos que se asignan a 0 por el determinante de la función.
¿Cuál es el determinante de la matriz inversa de una matriz? El inverso del determinante, por supuesto. (Etc.)
Esta operación de "preservar" la propiedad de los determinantes, explica algunos de el valor de la determinante de la función y proporciona un cierto nivel de "intuición" para mí en el trabajo con matrices.
He grabado una conferencia sobre la definición geométrica de determinantes:
La definición geométrica de los factores determinantes
Tiene elementos de las respuestas por Jamie Bancos y John Cook, y entra en los detalles de una manera pausada.
La parte superior exterior de la potencia de una $n$-dimensional vector space $V$ is one-dimensional. Its elements are sometimes called pseudoscalars, and they represent oriented $n$-dimensional de elementos de volumen.
Un operador lineal $f$ on $V$ can be extended to a linear map on the exterior algebra according to the rules $f(\alpha) = \alpha$ for $\alpha$ a scalar and $f(A \wedge B) = f(A) \wedge f(B), f(A + B) = f(A) + f(B)$ for $A$ and $B$ blades of arbitrary grade. Trivia: some authors call this extension an outermorphism. The extended map will be grade-preserving; that is, if $A$ is a homogeneous element of the exterior algebra of grade $m$, then $f(A)$ will also have grade $m$. (Esto puede ser verificado a partir de las propiedades de la extensión del mapa que acabo de enumerar.)
Todo esto implica que una lineal mapa en el exterior álgebra de $V$ una vez restringido a la parte superior exterior de la potencia se reduce a la multiplicación por una constante: el determinante de la original de la transformación lineal. Desde pseudoscalars representan orientado elementos de volumen, esto significa que el factor determinante es, precisamente, el factor por el cual las escalas de mapa orientado volúmenes.
