Una pregunta acerca de la divisibilidad.

Question

Lo que he observado: Elija cualquiera de los $3$ aleatorios enteros positivos, dicen $a$, $b$, $c$ que no son de la forma$0\pmod{3}$, a continuación, una y sólo una de $a+b$, $b+c$, $c+a$, $a+b+c$ siempre es un múltiplo de a $3$.

Lo que he generalizado: Vamos $a_1$$;$ $a_2$; $...;$ $a_k$ ser $k$ enteros positivos con $a_r$ $\not=$ $0\pmod{k}$ $\forall$ $1$ $\le$ $r$ $\le$ $k$. Entonces no existe $m$ $n$ con $1$ $\le$ $m$ $\le$ $n$ $\le$ $k$ tal que $\sum_{i=m}^n a_i$ es divisible por $k$.

Mi pregunta: Si o no tal generalización es verdadera.

Nota: La condición de $a_r$ $\not=$ $0\pmod{k}$ $\forall$ $1$ $\le$ $r$ $\le$ $k$ es para evitar que la solución trivial, siendo $m$ $=$ $n$ $=$ $r$.

Answer 1

Sí, es cierto. La restricción positivos enteros no es necesario. Considere la posibilidad de $a_1$, $a_1+a_2$, $a_1+a_2+a_3$, y así sucesivamente hasta el $a_1+a_2+\cdots+a_k$. Hay $k$ (no necesariamente distintos) las sumas aquí.

Si una de estas sumas es congruente a $0$ modulo $k$, estamos acabados. De lo contrario, hay en la mayoría de las $k-1$ valores de modulo $k$ que estas sumas pueden asumir.

Entonces, por el Principio del Palomar, dos de las sumas son congruentes modulo $k$, decir $\sum_{i=1}^{m-1} a_i$ $\sum_{i=1}^n a_i$ donde $m \le n$. Pero entonces su diferencia $\sum_{i=m}^n a_i$ es congruente a $0$ modulo $k$.

Answer 2

Contraejemplo a la singularidad:

$$2,2,2,2,2,2$$