Por "ángulos racionales" me refiero a la medida de un grado racional (equivalentemente, ángulo un múltiplo racional de $\pi$ ). Obviamente, los triángulos similares deben contarse una vez.
De mi cabeza tenemos: 30-60-90, triángulos equiláteros, 45-45-90 y 36-36-72.
Los triángulos existirían en un polígono regular de 4, 5, 6, lados. Así que también hay 36-72-72 y 108-36-36 en el pentágono, 30-30-120, 30-60-90 y 60-60-60 en el hexágono, y 45-45-90 en el cuadrado. Así que son seis.
El ángulo en el circuncentro del triángulo para cada lado, es el doble del ángulo opuesto. Dado que los ángulos forman ángulos racionales, los vértices deben caer en el polígono que representa el mínimo común denominador.
Como las cuerdas de los polígonos son soluciones de un polinomio de orden ½ totient(2n), se trata simplemente de satisfacer esto para este=2, da n=4, 5, 6 como únicas soluciones. 7 y 9 resuelven cúbicos, 8, 10, 12, 15 resuelven bicuadrados, 11 resuelven quínticos, 13, 14, 18, 21 resuelven hexágonos, y así sucesivamente.
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Tenga en cuenta que aunque la respuesta de wendy kriger cubre su pregunta específica (valores de la forma $r+s\sqrt{n}$ con $r$ y $s$ racional y $n$ enteros), existen otros ángulos racionales cuyos senos y cosenos pueden expresarse mediante raíces cuadradas anidadas cuyos "valores de la hoja" son números racionales (o equivalentemente, que son construible con regla y compás).