Determinante de una matriz cuyo $(i,j)$ Este elemento es $|i-j|$ ?

Question

La pregunta dice: "Que $D_n$ denotan el determinante de la $n$ -por- $n$ matriz cuya $(i,j)$ (el elemento en el $i$ la fila y $j$ columna) es el valor absoluto de la diferencia entre $i$ y $j$ . Demostrar que $D_n = (-1)^{n-1}(n-1)2^{n-2}$ ."

Parece que puedo obtener una relación de recurrencia (especialmente la pregunta era de un capítulo de un libro que trata de la recursión). Al tratar de obtener una relación de recurrencia, esto es lo que he hecho hasta ahora:

(Deja que $R_k$ denotan el $k$ y dejar que $(i,j)$ denotan el elemento/punto de $i$ la fila y $j$ de la plaza)

1) sustituir $R_1$ con $R_1-(R_2+R_{n-1})$ para conseguir $R_1^*$

2) sustituir $R_1^*$ con $R_1^*+R_{n-2}$

3) Si no me equivoco, debería tener $-2$ en $(1,1)$ , $2$ en ambos $(1,n-1)$ y $(1,n)$ y todos los demás elementos de la primera fila como $0$ .

4) sacar $2$ de la primera fila, y expandir el determinante sobre la primera fila

5) Debería haber $D_n=2(-D_{n-1}+(-1)^n B_{n-1})$ , donde $B_{n-1}$ es el determinante de una mayriz no fácilmente reducible cuya última columna está formada por $n-1$ uno seguido de otro $-1$ .

¿Cómo debo proceder a partir de ahora? Una vez que obtenga una relación de recurrencia, sería bastante fácil obtener la fórmula explícita para $D_n$ utilizando la inducción.

P.D. Esta pregunta es aparentemente una pregunta tomada del concurso de Putnam de 1969

Answer 1

Como dije en los comentarios, la solución es aquí . Lo copio en esta página por si acaso se borra la página de referencia.

Para $i = 1, 2, 3, ... , n-2$ restar dos veces la fila $i+1$ de la fila $i$ y añadir la fila $i+2$ a la fila $i$ . Para $i < n-1$ , fila $i$ se convierte en todo $0$ s excepto para un $2$ en la columna $i+1$ .

Ahora expande sucesivamente por la primera, segunda, tercera... filas para obtener $(-2)n-2$ veces el $2 \times 2$ determinante con la primera fila $n-2, 1$ y la segunda fila $n-1, 0$ . Este $2 \times 2$ el determinante tiene valor $-(n-1)$ Así que $|A| = (-1)^{n-1} (n-1) 2^{n-2}$ .