Uno sólo tiene que consultar la historia del álgebra para muchos informal
los debates sobre la existencia y consistencia de los números complejos.
Cualquier informal intento de justificar la existencia de $\mathbb C$
se enfrentan a los mismos obstáculos que existían en épocas anteriores. Es decir, la falta de una rigurosa (conjunto teórico) de la fundación hace que sea difícil para ser precisos -, tanto sintáctica como semánticamente. Hoy en día el conjunto de la teoría de la fundación de estructuras algebraicas
es así que en el subconsciente que es fácil pasar por alto lo mucho poder que le proporciona
para tales propósitos. Pero este descuido es fácil de remediar. Uno sólo tiene que consultar
algunos de los más antiguos de la literatura, donde incluso matemáticos líderes luchado
inmensamente rigurosamente definir los números complejos. Por ejemplo, ver la
cito a continuación por Cauchy y de Hankel de la crítica mordaz - que está garantizada
para hacer que su caída de la mandíbula! (A continuación es un extracto de mi post sobre la noción de
de formal polinomio de anillos y de sus cocientes).
Un gran logro de la definición teórica de
estructuras algebraicas era eliminar imprecisa de la sintaxis y la semántica.
La eliminación de la sintáctica término polinómico $\rm\ a+b\cdot x+c\cdot x^2\ \ $
en favor de su conjunto de la teoría de la semántica de reducción de
$\rm\:(a,b,c,0,0,\ldots)\:$ eliminates many ambiguities. There is no longer be any doubt about the precise denotation of the symbols $\rm\: x,\; +,\;\cdot\:,$ o sobre el significado de la igualdad de polinomios, ya que, por un conjunto teórico de la definición, las tuplas son iguales si sus componentes son iguales. El conjunto de la teoría de la representación ("aplicación") de estos objetos algebraicos les da riguroso significado.
Del mismo modo para los números complejos $\rm\,a + b\cdot {\it i}\ $
frente de su conjunto de la teoría de la pareja de reducción de la $\rm\,(a,b)\,$ descubierto por Hamilton.
Antes de Hamilton dio esta semántica reducción de $\,\mathbb C\,$ a pares
de reales, antes de construcciones sintácticas (por ejemplo, por Cauchy) como
formal de expresiones o términos de $\rm\:a+b\cdot {\it i}\:$ fueron objeto de fuertes críticas respecto a
la denotación precisa de su componente de los símbolos, por ejemplo
precisamente lo que es el significado de los símbolos $\rm\;{\it i},\, +,\, =\,?\, $
En lenguaje moderno, de Cauchy de la construcción de la $\mathbb C$ es simplemente la
el cociente del anillo de $\rm\:\mathbb R[x]/(x^2+1)\cong \Bbb R[{\it i}],\,$, lo que él describe esencialmente
como real expresiones polinómicas modulo $\rm\:x^2+1\:$. Sin embargo, en Cauchy del tiempo
matemáticas carecían de la necesaria (teoría) las fundaciones
rigurosamente definir el sintáctica de las expresiones que componen el
polinomio anillo plazo-álgebra $\rm\mathbb R[x]$, y su cociente del anillo de
la congruencia de las clases de $\rm\:(mod\ x^2+1).\,$ El mejor que podría Cauchy
hacer era intentar describir las construcciones en términos de
impreciso natural (humano) de la lengua, e.g, en 1821 Cauchy escribió:
En el análisis, la llamada de una expresión simbólica de cualquier combinación de
los símbolos o signos algebraicos que no significa nada por sí mismo, pero
que uno de los atributos de un valor diferente de la que debería
naturalmente [...] del mismo modo, llamamos simbólico ecuaciones de los
que, tomada literalmente, y serán interpretadas conforme a las convenciones de
en general, se estableció que son inexactos o no tienen ningún significado, pero
a partir de la cual puede deducirse resultados precisos, cambiando y
la alteración, de acuerdo a reglas fijas, las ecuaciones o símbolos
dentro de [...] Entre las expresiones simbólicas y ecuaciones
su teoría es de considerable importancia en el análisis, una
distingue especialmente aquellos que han sido llamados imaginarios. $\quad$ -- Cauchy, Cours d'analyse de 1821, S. 7.1
Mientras que en la actualidad, el uso de la teoría de conjuntos, podemos rigurosamente interpretar este tipo de "expresiones simbólicas"
como los términos de lenguajes formales o término de álgebras, estaba demasiado
impreciso en Cauchy tiempo para tener la esperanza de hacer sentido
a sus colegas, por ejemplo, de Hankel respondió mordaz:
Si uno fuera a dar una crítica de este razonamiento, no podemos
realmente ver por dónde empezar. Debe haber algo "que
no significa nada", o "que se le asigna un valor diferente
esto, naturalmente, debe ser", algo que "no tiene sentido" o es
"incorrecta", junto con otro tipo similar, la producción de
algo real. Debe ser "algebraica de los signos" - son estos
los signos de las cantidades o qué? como un signo debe designar algo
- combinar unos con otros en una forma que tiene un "significado". Hago
no creo que estoy exagerando en llamar a este un ininteligible
juego de palabras, la mala evolución de las matemáticas, que es el orgullo
y justamente orgulloso de la claridad y la evidencia de sus conceptos. $\quad$-- De Hankel
Por lo tanto, no es de extrañar que Hamilton eliminación
de tales "sin sentido" símbolos - en favor de los pares de reales -
sirve como un importante paso adelante en la colocación de los números complejos en un
fundación más susceptibles a sus contemporáneos.
Aunque no se dispone todavía de la teoría de conjuntos en la que
rigurosamente axiomatize la noción de pares, eran mucho más fácil
para aceptar ingenuamente - esp. dado el ya conocido de cerca
asociada a la interpretación geométrica de los números complejos.
Hamilton presentó pares como 'parejas' en 1837 [1]:
p. 6: El autor reconoce con el placer que él está de acuerdo con
M. de Cauchy, en la consideración de todos los (así llamados) Imaginaria de la Ecuación
como una representación simbólica de dos separados de Ecuaciones:
pero difiere en que excelente matemático en su método
en general, y especialmente en la introducción de la señal sqrt(-1)
hasta que él ha provisto para que, mediante su Teoría de las Parejas,
una posible y real significado, como un símbolo de la pareja (0,1)
p. 111: Pero porque el Señor Tumbas empleados, en su razonamiento, el
de costumbre, los principios de respeto sobre el Imaginario Cantidades, y
fue contenido a probar la simbólica necesidad sin mostrar
la interpretación o el significado interior, de sus fórmulas, la
presentar la Teoría de las Parejas que se publica para manifestar que
significado oculto: y para demostrar, por este notable ejemplo, que
expresiones que parecen de acuerdo a puntos de vista comunes para ser simplemente
simbólica, y absolutamente incapaz de ser interpretada, puede pasar
en el mundo de los pensamientos, y la adquisición de la realidad y el significado,
si Álgebra ser visto no como un mero Arte o el Lenguaje, sino como la
La ciencia de Tiempo Puro. $\quad$ -- Hamilton, 1837
No es sino hasta mucho más tarde el desarrollo de la teoría era que explícitamente se dio cuenta de
que los pares ordenados y, más en general, n-tuplas, servir un fundamental papel fundamental, proporcionar las materias primas necesarias para la construcción de materiales compuestos (suma/producto) las estructuras de las materias primas necesarias para la por encima de las construcciones de la polinomio de anillos y de sus cocientes.
En efecto, como Akihiro Kanamori escribió en la página. 289 (17) de
su muy interesante de papel [2] en la historia de la teoría de conjuntos:
En 1897 Peano formulada explícitamente el par ordenado mediante
$\rm\:(x, y)\:$ y, además, levantó los dos puntos principales acerca de la
par ordenado: en Primer lugar, la ecuación 18 de sus Definiciones mencionadas
el instrumental de la propiedad, que es todo lo que se requiere de
el par ordenado:
$$\rm (x,y) = (a,b) \ \ \iff \ \ x = a \ \ and\ \ y = b $$
Segundo, él mencionó la posibilidad de reducibilidad, escribiendo:
"La idea de una pareja es fundamental, es decir, no sabemos cómo
para expresar que el uso de los anteriores símbolos."
Una vez puesta en teoría se desarrolló plenamente uno tenía las materias primas
(sintaxis y semántica) para proporcionar riguroso construcciones de
estructuras algebraicas y precisa de idiomas para el término de álgebras. El polinomio anillo de $\rm\:R[x]\:$ hoy en día es simplemente un caso especial de mucho más general de construcciones de la libre álgebras. Tal equationally axiomatized álgebras y su génesis a través de los llamados 'las propiedades de la asignación universal' son algunos de los temas discutidos en detalle en cualquier curso de Álgebra Universal -
por ejemplo, ver Bergman [3] para un particular lucidez presentación.
[1] William Rowan Hamilton. La teoría de conjugar las funciones, o algebraica de las parejas; con un preliminar de la primaria y el ensayo sobre el álgebra como la ciencia de tiempo puro
Trans. Real Academia Irlandesa, v. 17, parte 1 (1837), pp 293-422.)
http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Hamilton/PureTime/PureTime.pdf
[2] Akihiro Kanamori. El Conjunto Vacío, el Singleton, y el Par Ordenado
El Boletín de la Lógica Simbólica, Vol. 9, Nº 3. (Sep., 2003), pp 273-298.
http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.95.9839
PS http://www.math.ucla.edu/~asl/español/0903/0903-001.ps
PDF http://ifile.it/b20c48j
[3] George M. Bergman. Una Invitación a Álgebra General y Universal de Construcciones.
PS http://math.berkeley.edu/~gbergman/245/
PDF http://ifile.it/yquj5w1
