Me estaba poniendo a prueba las propiedades de las ternas Pitagóricas de la forma $(a,b=\frac{a^2-1}{2},c=\frac{a^2-1}{2}+1)$ y por casualidad me encontré con que la siguiente expresión parece ser cierto para todos los pares (a,b):
Si $((\varphi(b))^2$ mod $a$)$ + 1 = \tau(b)$ a continuación, $(a$ mod $\tau(b)) \in \Bbb P$
Donde $\tau(b)$, también llamado $d(b)$, es el divisor función count, y $\varphi(b)$ es el totient función.
E. g.
$a=15 , b=112 , \varphi(112)=48 , \tau(112)=10$
$((\varphi(b))^2$ mod $a) + 1 = ((\varphi(112))^2$ mod $15) + 1 = 9+1 =10 = \tau(112)$ $(a$ mod $\tau(b))=15$ mod $10 = 5 \in \Bbb P$.
Este es el PARI/GP código sólo en caso de que alguien quería probar o modificarlo:
perct = 1;limit = 100000000;for(a=1,limit,if(a%2==0,if(a>((limit*perct)/1000),perct=perct+1;print("Current a",a));continue,b=((a*a)-1)/2;s1=length(divisors(b));totb=eulerphi(b);if(((totb*totb)%a)+1==s1,print(a," ",b," ",s1," ",totb," ",((totb*totb)%a)+1," ",a%s1))))
La regla parece generar sólo los números primos, pero (1) el conjunto de los números primos se agotan al $a \to \infty$ o (2) la distancia entre ellos crece muy rápidamente (de forma exponencial?).
Probado hasta ahora en el intervalo de $[1,56\cdot 10^6]$, el conjunto de pares $(a,a$ mod $\tau(b))$ es: $$\{(15,5),(29,5),(43,19),(449,71),(4909,13),(16171,43),(230741,149),(22267007,127)\}$$...no counterexamples, but it gets difficult to find new ones. OEIS does not show any sequence related to the $un$'s or the $($ mod $\tau(b))$ de los números primos.
Mi conocimiento teórico es muy básica, así que me gustaría compartir con ustedes las siguientes preguntas:
Aunque las relaciones en la expresión parece demasiado complejo para descubrir la regla detrás de él, hay una razón para esta propiedad? es trivial?
Puede un contraejemplo esperar al $a$ se hace más grande? Todavía estoy a la ejecución de la prueba, pero mi ordenador es muy lento, si alguien pudiera darle una oportunidad a la PARI/GP código, sería muy apreciado.
Gracias!
