Matriz con valores propios no negativos (y suposición adicional)

Question

Dejemos que $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ sea semidefinido positivo ( $A = A^\top \succcurlyeq 0$ ) y con elementos diagonales positivos ( $A_{i,i} > 0$ para todos $i$ ).

Supongamos que tanto la columna como la fila suman $A$ es $0$ es decir, para todos los $i$ , $\sum_{j} A_{i,j} = 0$ y para todos $j$ , $\sum_{i} A_{i,j} = 0$ . Supongamos también que $A$ tiene exactamente un valor propio igual a $0$ .

Dejemos que $b, c \in \mathbb{R}^n$ sean vectores positivos y no negativos respectivamente, es decir $b > 0$ y $c \geq 0$ . Supongamos que $c^\top b > 0$ .

Demostrar que el $(n+1)$ -Matriz de dimensiones $$ \left[ \begin{matrix} A & b \\ c^\top A & c^\top b\end{matrix} \right]$$ tiene valores propios con parte real no negativa.

Observaciones. Los números demuestran que la afirmación es cierta. En aquí se demuestra que $A \succcurlyeq 0$ no es suficiente para que la afirmación sea cierta, por lo que la suposición adicional sobre $A$ sería necesario.

Answer 1

El código de matlab que aparece a continuación puede utilizarse para construir un contraejemplo. (El resultado es probablemente verdadero si $A$ también es un $M$ -matriz). La motivación es la fórmula Sherman-Morrison-Woodbury. Se escriben las ecuaciones que un par de valores propios y vectores propios $\lambda$ , $[x, y]^T$ debe satisfacer:

$Ax+by=\lambda x,$

$c^Tx+c^Tby=\lambda y.$

Obsérvese que la última ecuación es casi $c^T$ veces las ecuaciones principales, y esto da una restricción en la última entrada del vector propio,

$c^Tx=y$

que da lugar a una matriz a la que se puede aplicar la fórmula de Sherman-Morrison-Woodbury si $\lambda$ no es un valor propio $Ax+bc^Tx=\lambda x$

$(A-\lambda I+bc^T)x=0$

Entonces, para un negativo dado $\lambda$ El juego consiste en encontrar b y c cuando no se puede aplicar la fórmula Sherman-Morrison-Woodbury.

n=10;
D=diag(abs(rand(n,1)+1));
D(1,1)=0
D(2,2)=1e-1
[V R]=qr([ones(n,1) randn(n)],0)
A=V*D*V'

%Let's force -1 to be an eigenvalue of our matrix
lambda=-1;

inv(A-lambda*eye(n))
%Examine this matrix, it is highly likely that 
%the matrix will have a negative entry in one of the columns
%Column n for example
%Let c_j=0 j\neq n and 1 otherwise
%Since b must be postive
%Make most of the entries of b small with the exception of 
%the entry that is negative

c=zeros(n,1)
c(2)=1
(A-lambda*eye(n))\c
b=.001*ones(n,1)
b(1)=10
b'*inv(A-lambda*eye(n))*c
t=(-1/(c'*inv(A-lambda*eye(n))*b))
(c'*inv(A-lambda*eye(n))*b)
eig(A-lambda*eye(n)*t*b*c')
eig([A t*b ; c'*A c'*b])