¿Cómo solucionar $10^x = x$? No estoy seguro de cómo resolver esto de manera algebraica. El uso de funciones de registro, no era suficiente.
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k170
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La gráfica de arriba deben informar inmediatamente a usted que no hay soluciones reales de la ecuación. Si usted está interesado en las soluciones complejas, aquí es cómo se puede proceder $$10^x = x$$ $$1=\frac{x}{10^x}$$ $$1=\frac{x}{e^{\ln 10^x}}$$ $$1=xe^{-x\ln 10}$$ $$-\ln 10=(-x\ln 10)e^{(-x\ln 10)}$$ Por lo tanto $$W(-\ln 10)=-x\ln 10$$ $$x=-\frac{W(-\ln 10)}{\ln 10}$$ Donde $W$ es la función W de Lambert.
Workaholic
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Toby
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Antes de tratar de encontrar soluciones numéricas, primero vamos a ver si hay soluciones en el primer lugar. Un boceto rápido muestra que no debe ser ninguna solución. Vamos a demostrar de esta manera algebraica.
Primer aviso de que para todo real $x,$ $10^{x} > 0.$ Un resultado positivo es siempre más grande que una negativa, así que para $x < 0,$ $10^{x} > x.$
Para $x > 0,$ vemos que $10^{x}$ crece mucho más rápido que la $x.$ Al $x$ es $0,$ $10^{x} = 1 > 0,$ y más allá de eso, $10^{x}$ siempre crece más rápido. Así que tenemos que $10^{x} > x$ todos los $x.$ por Lo tanto, no es $\boxed{\text{no solution}}.$
Matthew Scouten
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Como otros han señalado, no hay soluciones reales en este caso. Hay soluciones complejas. Son $$-{\frac {{\rm W} \left(-\ln \left( 10 \right) \right)}{\ln \left( 10 \right) }} $$ donde $W$ es cualquier rama de la función W de Lambert. Las primeras soluciones, con el fin de aumentar la parte real son
$$- 0.1191930734 \pm 0.7505832941\,i, 0.5294805081 \pm 3.342716202\,i, 0.7877834910 \pm 6.083768254\,i, 0.9480581767 \pm 8.821952931\,i, 1.064691576 \pm 11.55730317\,i$$
Simple Art
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Yo te puedo mostrar algunas maneras interesantes para encontrar la respuesta.
Empezar con $x=\log_{10}(x)$.
Sustituir esto en sí mismo para obtener $x=\log_{10}(\log_{10}(x))$
Repita este infinitamente: $$x=\log_{10}(\log_{10}(\log_{10}(\dots\log_{10}(x)\dots)))$$
Pruebe a conectar un número aleatorio para la $x$ dentro de los logaritmos y el uso de una calculadora que puede calcular los números complejos con los logaritmos para encontrar el resultado.
El uso de diferentes números pueden producir diferentes respuestas, pero todas las respuestas deben trabajar para resolver el $x=10^x$.
Para numérica tranquilidad (he usado google)
$$\log(2)=0.30102999566$$
$$\log(\log(2))=-0.52139022765$$
$$\log(\log(\log(2)))=-0.2828+1.3643i$$
$$\log(\log(\log(\dots\log(2)\dots)))=-0.119193073+0.750583294i$$
Cuando intento conectar a $x=10^x$, me sale que funciona, con una cantidad muy pequeña de error.
También tenga en cuenta que:
$$10^x=10^{x\pm\log_{10}(e)2\pi in},n=0,1,2,3,\dots$$
Y el uso de eso, conseguimos $$x=10^{x+\log_{10}(e)2\pi in}\implies x=\log_{10}(x)\mp\log_{10}(e)2\pi in$$
Y poner esto en nuestro método de sustitución:
$$x=\log_{10}(\log_{10}(\dots\log_{10}(x)\mp\log_{10}(e)2\pi in)\mp\log_{10}(e)2\pi in)\mp\log_{10}(e)2\pi in$$
