Sé cómo mostrar $[\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}):\mathbb{Q}]\leq[\mathbb{Q}(\sqrt2):\mathbb{Q}][\mathbb{Q}(\sqrt3):\mathbb{Q}]$, pero no saben cómo demostrar el recíproco de la desigualdad. $[\mathbb{Q}(\sqrt2):\mathbb{Q}]$ $[\mathbb{Q}(\sqrt3):\mathbb{Q}] $ ambos divide $[\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}):\mathbb{Q}]$, pero no son relativamente primos, así que supongo que no puede el converso de la desigualdad de esta manera. Estoy considerando la posibilidad de usar el hecho de que la intersección de a$\mathbb{Q}(\sqrt2)$$\mathbb{Q}(\sqrt 3)$$\mathbb{Q}$, pero no sé cómo proceder...
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
La pregunta específica en el título pueden ser resueltas por métodos de primaria. O como una parte más general de la realidad sobre el terreno que se obtiene por contigua a las raíces cuadradas de los coprime enteros. Ver el excelente escribir por Bill Dubuque.
En un comentario a la pregunta fue especificado a ser sobre un hecho general sobre el grado de la compositum de dos extensiones algebraicas de un campo de $K$ que se cruzan trivialmente. Puede ser natural para sospechar que si $K(x)\cap K(y)=K$ donde $K(x), K(y)$ son tanto algebraicas extensiones de $K$, entonces podríamos tener un grado de fórmula como $[K(x,y):K]=[K(x):K][K(y):K]$.
Sin embargo, esto es FALSO en general. Un fácil de digerir contraejemplo es que de $K=\Bbb{Q}$, $x=\root3\of2$, $y=\omega\root3\of2$, donde $\omega=(-1+\sqrt{-3})/2$ es una primitiva raíz cúbica de la unidad. Tanto en $x$ $y$ son ceros del polinomio irreducible $p(x)=x^3-2$, lo $[K(x):K]=3=[K(y):K]$. Tenemos $K(x)\subset\Bbb{R}$, pero $K(y)\cap\Bbb{R}=\Bbb{Q}$, lo $K(x)\cap K(y)=K$. Además, $K(x,y)$ es la división de campo de la $p(x)$$K$, que se sabe que tienen un grado de seis, no nueve. Esto se deduce de la $\omega$ ser una raíz de una ecuación cuadrática. De todos modos, el anterior título de la fórmula no se sostiene en este caso.
Me di cuenta de que usted está en un contexto donde se necesita un mayor resultado general. El concepto clave aquí es el de la linealmente disjuntos extensiones. El grado fórmula sostiene, iff $K(x)$ $K(y)$ son linealmente disjuntos $K$. No tan difícil demostrar el resultado general es que si $K(x)/K$ $K(y)/K$ son tanto las extensiones de Galois (dentro de una más grande campo, por ejemplo, es algebraicas cierre de $K$), y $K(x)\cap K(y)=K$, entonces son necesariamente linealmente disjuntos.
