$\mathbb{R}$ cerrado o abierto en $\mathbb{R}^2$ ?

Question

Es $\mathbb{R}$ cerrado o abierto en $\mathbb{R}^2$ con respecto a la topología estándar de $\mathbb{R}^2$ (los conjuntos abiertos son las bolas épsilon abiertas)? Creo que sí, $\mathbb{R}$ está cerrado en $\mathbb{R}^2$ porque $\mathbb{R}$ puede identificarse con $\mathbb{R}\times \{0\}\subset \mathbb{R}^2$ y ambos conjuntos del producto, $\mathbb{R}$ y $\{0\}$ se cierran en $\mathbb{R}$ . Por lo tanto, es un producto cartesiano de conjuntos cerrados y, por lo tanto, cerrado en $\mathbb{R}^2$ Yo diría. ¿Es correcto? Saludos

Answer 1

Formalmente hablando, $\Bbb R$ ni siquiera es un subconjunto de $\Bbb R^2$ .

Como usted dice, se puede identificar con el subconjunto $\Bbb R\times\{0\}$ . Pero también puede identificarse con $\{\pi\}\times\Bbb R$ y con $\Delta=\{(x,x)\mid x\in\Bbb R\}$ y también con muchos otros subconjuntos.

Una vez elegida una identificación, puede preguntar si el conjunto está abierto o cerrado. Si elige la $\Bbb R\times\{0\}$ es un conjunto cerrado.

(Si por identificación te refieres a encontrar la imagen de alguna incrustación como un espacio topológico, entonces ten en cuenta que $\{0\}\times(0,1)$ también puede identificarse con $\Bbb R$ que no está ni abierto ni cerrado.
Nótese, sin embargo, que bajo esta interpretación de "identificación" podemos al menos decir que $\Bbb R$ es siempre $F_\sigma$ ya que es $\sigma$ -compactos, y los conjuntos compactos deben identificarse de nuevo con los conjuntos compactos).

Answer 2

Sea $x_{n}$ en $\mathbf{R} \times \lbrace 0 \rbrace $ sea una secuencia convergente. Entonces $x_{n}=(y_{n},0)$ donde $y_{n}$ es una secuencia convergente en $\mathbf{R}$ . Sea $y_{n}$ convergen a $y \in \mathbf{R}$ . $x_{n}$ converge a $(y,0)$ que pertenece a $\mathbf{R} \times \lbrace 0 \rbrace 0$ . Por lo tanto, el conjunto es cerrado.

Answer 3

Como comentario, técnicamente $\mathbb{R}\not\subseteq \mathbb{R}^2$ por lo que consideramos $\mathbb{R}\times \{0\}$ como dijiste.

Pero sí, tiene razón. Hay varias maneras de ver esto. La forma más directa de verlo es considerar el cumplido y hacer un dibujo. Escribir el argumento formal no debería ser difícil entonces. Otra forma es considerar una secuencia convergente en $\mathbb{R}\times \{0\}$ y demostrar que converge a algo en $\mathbb{R}\times \{0\}$ .