Como dice el título, la pregunta es si existen muchos conjuntos compactos no homeomorfos del círculo unitario.
Supongo que esto es cierto, pero no me importaría una prueba elegante.
Respuesta
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Para cada ordinal contable $\alpha$ sea $X_\alpha=\omega^\alpha+1$, donde la exponenciación es exponenciación ordinal, y $X_\alpha$ es el espacio de ordinales menores o iguales a $\omega^\alpha$ con la topología de orden. Este es un espacio compacto, y $X_\alpha$ y $X_\beta$ tienen diferentes rangos de Cantor-Bendixon cuando $\alpha\ne\beta$, por lo tanto $\{X_\alpha:\alpha<\omega_1\}$ es una familia no numerable de espacios de Hausdorff compactos contables no homeomorfos entre sí. Es bien conocido que cada espacio ordinal contable es embebible en $\Bbb R$, por lo tanto en $\left[0,\frac12\right)$, y por ende en el círculo.
Agregado: Sea $C$ el conjunto de Cantor de tercios centrales, y sea $\{p_n:n\in\omega\}$ una enumeración de los puntos finales izquierdos de los intervalos eliminados. Si $A\subseteq[\omega_1]^\omega$, sea $A=\{\alpha_n:n\in\omega\}$ la enumeración creciente, y adjunte una copia de $X_{\alpha_n}$ a $C$ en $p_n$ identificando $\omega^{\alpha_n}$ con $p_n; el resto de $X_{\alpha_n}$ debería estar en el intervalo cuyo punto final izquierdo es $p_n$. Llame a este espacio resultante $C_A$. Los espacios $C_A$ para $A\in[\omega_1]^\omega$ son compactos y no homeomorfos entre sí, y hay $2^\omega$ de ellos.
