Alguien me puede ayudar a obtener una contradicción, para que esta declaración en 1-D análisis real

Question

Estoy tratando de demostrar que los siguientes no es posible:

Deje $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ser estrictamente una función creciente tal que $f(0)=0$. Fix $\alpha >1$ y supongamos que para $h>0$

1. $\lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h} = \infty$ y
2. $\lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{f(\alpha h)} =0$

Estoy bastante seguro de que no es posible que estos dos límites para ser a la vez verdadera y he estado tratando de demostrar que de primeras definiciones, pero me parece que no puede ver.

Answer 1

Suponga que la segunda condición se mantiene, y deje $\epsilon>0$ ser lo suficientemente pequeño para que $$ \frac{f(h)}{f(\alpha h)}<\frac{1}{2\alpha} $$ siempre que $0<h\leq \epsilon$. Se sigue por la inducción que $f(h/\alpha^n)<(2\alpha)^{-n} f(h)$ para cada entero positivo $n$$h\leq \epsilon$.

Si asumimos también la primera condición, entonces obtenemos una contradicción para $h<\epsilon$: $$ \infty=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=\lim_{n\to\infty}\frac{f(h/\alpha^n)}{h/\alpha^n}\leq \limsup_{n\to\infty}\frac{(2\alpha)^{-n}f(h)}{h/\alpha^n}=\frac{f(h)}{h}\limsup_{n\to\infty}2^{-n}=0. $$