A mi hijo de la Suma de Algunos es hermoso! Pero ¿cuál es la prueba o explicación?

Question

Mi hijo menor es en $th grado. Le gusta jugar con los números. Hoy en día, él me mostró su último descubrimiento. Me llaman su "Suma de Algunos", porque él añade algunos números seleccionados a partir de una serie de números, y la suma es igual a una posterior número en la misma serie. He traducido de su hallazgo en esta ecuación. $$(100\times2^n)+(10\times2^{n+1})+2^{n+3}=2^{n+7}$$

¿Por qué es esto así? ¿Cuál es la prueba o explicación? Es cierto para cualquier $n$?

Su propia presentación de su hallazgo:

Cada uno de estos números es dos veces el número anterior. , 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192$.
Puedo elegir a uno de ellos, los tiempos de 0$. Then I add the next one, times $. Luego, me salto el siguiente. A continuación, añado la de después.
Si me salte los tres y leer el cuarto, que uno es igual a mi suma!

Answer 1

El Factor de la ^n$ and you get: ^n (100+20+8) = 2^n 128 = 2^{n+7}$ since ^7 = 128$

Answer 2

Funciona porque el número de

$$ 128 $$ tiene dos características especiales: es un poder de $, and every digit is a power of $. Esto significa que se puede escribir de dos maneras diferentes:

\begin{align} 128&=2^7\\ 128&=100\times2^0+10\times2^1+1\times2^3 \end{align}

Multiplicando ambos lados por ^n$ le da:

$$ 2^{n+7}=(100\times2^n)+(10\times2^{n+1})+2^{n+3} $$

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Edit: que otros han hecho un mejor trabajo de la generalización de esto, pero siento que debo señalar otro obvias relacionadas con la secuencia.

8$ is not the only power of $ whose digits are all powers of $ (or , 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192$$). Por ejemplo:

$$ 1024 = 2^{10} $$

Lo otro, el mismo tipo de relación está dada por:

$$ 2^{n+10} = (1000\times2^n)+(10\times2^{n+1})+2^{n+2} $$

En su hijo la notación, que se convierte en:

Cada uno de estos números es dos veces el número anterior.
00$. Then I add the next one, times $.
Puedo elegir a uno de ellos, los tiempos de %#%#%. Luego añadir el siguiente.
Si me salte los siete (!) queridos y leer el octavo, que uno es igual a mi suma!

A ver si a él le gusta que uno.

Answer 3

Aquí hay otra fórmula similar a la de su hijo, con poderes de $:

$00000\cdot5^n+100000\cdot5^{n+1}+10000\cdot5^{n+2}+1000\cdot5^{n+3}+100\cdot5^{n+4}+5^{n+6}=5^{n+9}$$

Podemos derivar las identidades del mismo de forma más general. Considere la posibilidad de cualquier $m$th degree polynomial $f(x)\in\mathbb{Z}[x]$ de la siguiente forma

$$f(x)=a_0+a_1x+\ldots+a_{m-1}x^{m-1}-x^m$$

Observe que todas las raíces racionales de $f(x)$ are integers. Suppose $f$ has a rational root $k$. Entonces tenemos la siguiente igualdad:

$$\begin{align}k^{n+m}&=k^nk^m\&=k^n(a_0+a_1k+a_2k^2+\ldots+a_{m-1}k^{m-1})\&=a_0k^n+a_1k^{n+1}+a_2k^{n+2}+\ldots+a_{m-1}k^{n+m-1}\end{align}$$

Su hijo fórmula implica la $th degree polynomial $f(x)=100+10x+x^3-x^7$ and the root $k=2$. Above I've used the polynomial $f(x)=10^6+10^5x+10^4x^2+10^3x^3+10^2x^4+x^6-x^9$ and the root $k=5$.

Aquí hay otros ejemplos de $k=3$. Consider the polynomials $f(x)=3+8x+80x^3-x^7,$ $g(x)=2130+10x+x^3-x^7$, and $h(x)=99+687x+x^3-x^7$, and notice that $f(3)=g(3)=h(3)=0$. Estos nos dan las siguientes identidades:

$\cdot3^n+8\cdot 3^{n+1}+80\cdot3^{n+3}=3^{n+7}\2130\cdot3^n+10\cdot3^{n+1}+3^{n+3}=3^{n+7}\99\cdot3^n+687\cdot3^{n+1}+3^{n+3}=3^{n+7}$$

Trate de usar este método para encontrar identidades para los otros valores de $k$ (incluidos los números enteros negativos!).

Answer 4

Una prueba de que, a diferencia de todas las demás sugerencias, no requiere alimentación como un requisito previo.

Esto es lo que su hijo dio cuenta por sí mismo mirando el primer ocurrencias en la secuencia:

1 × 100 + 2 × 10 + 8 = 128

Ahora, vamos a él destacan que él puede multiplicar todo por 2 sin afectar a la igualdad:

2 × (1 × 100 + 2 × 10 + 8) = 2 × 128

Suponiendo que él entiende que la duplicación distribuye sobre la suma, se obtiene:

2 × 1 × 100 + 2 × 2 × 10 + 2 × 8 = 2 × 128

A continuación, la observación de que cuando se doble de recogida de obtener por supuesto, el siguiente punto en la secuencia:

2 × 100 + 4 × 10 + 16 = 256

Repita. Multiplicar ambos lados por dos, distribuir y doble cada escoger de nuevo, y obtener una mayor igualdad:

4 × 100 + 8 x 10 + 32 = 512

Repita.

Ahora él debe estar muy convencido de que su afirmación se cumple para cualquier selección. (Por supuesto que podría ser una buena oportunidad para introducir la recurrencia!)

Answer 5

Usted puede facial que siempre en cualquier progresión geométrica $a_n=\lambda^na_0$, one term satisfies a linear recurrence ($a_n=c_0a_0+c_1a_1+\cdots+c_{n-1}a_{n-1}$, where some coefficients $c_i$ may be zero and the corresponding terms dropped), then every further term of the sequence satisfies the same recurrence: $a_{i+n}=c_0a_i+c_1a_{i+1}+\cdots+c_{n-1}a_{i+n-1}$. This is because the relation has simply been multiplied by $\lambda^i$. Even every term in another geometric progression with ratio$~\lambda$ va a satisfacer la recurrencia.

Lo que hace el ejemplo especialmente atractivo es que los coeficientes son distintos de cero de todas las facultades de$~10$, which makes the linear combination easy to compute; this is related to the fact that all (nonzero) digits of ^7=128$ themselves occur as powers of $. The same phenomenon happens for ^{10}=1024$: take 00$ times some power of$~2$, add ~$times the next power of two, and once the one after that; the result is present again ~$places further in the same progression. (For the digits of ^{11}=2048$, básicamente, obtener la misma relación.)