Bebé Rudin Capítulo 4 Ejercicio 1

Question

Supongamos que $f$ es una función real definida en $R^1$ que satisface $$\lim_{h\to 0}[f(x+h)-f(x-h)]=0$$ por cada $x\in R^1$ . ¿Implica esto que $f$ es continua?

A continuación está mi solución, mi respuesta es sí pero he buscado en el manual de soluciones que dice que no y estoy confundido qué paso de mi razonamiento es incorrecto. Gracias.

Porque $$\lim_{h\to 0}[f(x+h)-f(x-h)]=0$$
Dejemos que $$\lim_{h\to 0}f(x+h) = \lim_{h\to 0}f(x-h) = v = f(x)$$
Porque $$\lim_{h\to 0}f(x+h) = v$$
así $$\forall \epsilon>0, \exists h_1>0, \forall h < h_1, d(f(x+h),f(x)) < \epsilon$$
Del mismo modo, para $f(x-h)$ Me sale $$\forall \epsilon>0, \exists h_2>0, \forall h < h_2, d(f(x-h),f(x)) < \epsilon$$
Dejemos que $$H = min(h_1, h_2)$$
Entonces
$$\forall \epsilon>0, \exists H > 0, \forall p\in R^1, \text{if } d(x,p)<H, \text{then } d(f(x), f(p))<\epsilon$$
Así, $f$ es continua.

Answer 1

El error está en la línea

Dejemos que $$\lim\limits_{h\rightarrow 0}{f(x+h)} = \lim\limits_{h\rightarrow 0}{f(x-h)} = v = f(x).$$

Si $\lim\limits_{h\rightarrow 0}{f(x+h)}$ existía, entonces es cierto que es igual a $\lim\limits_{h\rightarrow 0}{f(x-h)}$ . Sin embargo, no hay ninguna razón para que exista, e incluso si existiera, no hay ninguna razón para que sea igual a $f(x)$ .

Un ejemplo de que el límite ni siquiera existe es la función $$ f(x) = \left\{\begin{matrix} \frac{1}{x^2}& x\ne 0 \\ 0 & x = 0\end{matrix}\right.$$

Answer 2

Esto es falso. Por ejemplo $f(x)=0$ para $x\neq0$ y $f(0)=1$ .

El problema está en la segunda ecuación de tu prueba. El límite $v$ no tiene por qué ser $f(x)$ . De hecho, $f$ es continua si y sólo si el límite $v$ existe y $v=f(x)$ .

Answer 3

Desde $\lim_{h\to 0}[f(x+h)-f(x-h)]=0$ no se deduce necesariamente que $\lim_{h\to 0}f(x+h) = \lim_{h\to 0}f(x-h)$ porque los dos límites podrían no existir.