Intervalo de confianza para la mediana

Question

Tengo un conjunto de valores ${x_i}, i=1, \dots ,N$ de los cuales calculo la mediana M. Me preguntaba cómo podría calcular el error en esta estimación.

En la red descubrí que se puede calcular como $1.2533\frac{\sigma}{\sqrt{N}}$ donde $\sigma$ es la desviación estándar. Pero no encontré referencias al respecto. Así que no entiendo por qué... ¿Alguien me lo puede explicar?

Pensaba que podría utilizar el bootstrap para tener una estimación del error, pero me gustaría evitarlo porque ralentizaría mucho mi análisis.

También estaba pensando en calcular el error en la mediana de esta manera $$\delta M = \sqrt{ \frac{\sum_i(x_i - M)^2}{N-1} } $$

¿Tiene sentido?

Answer 1

Como se señaló en la otra respuesta, hay un IC no paramétrico para la mediana utilizando las estadísticas de orden. Ese IC es mejor en muchos aspectos que lo que encontraste en la red.

Ahora, si necesitas saber de dónde proviene el factor $1.2533\frac{\sigma}{\sqrt{N}}$, la respuesta proviene de la distribución asintótica de la mediana. Si denotamos la mediana de la muestra como $\tilde{\theta}$ y la mediana de la población como $\theta$, entonces se puede mostrar que

$$\sqrt{n} \left( \tilde{\theta} - \theta \right) \xrightarrow{L} \mathcal{N} \left(0, \frac{1}{4 \left[f \left( \theta \right) \right]^2} \right)$$

donde $f$ es la distribución de tu muestra. El resultado no es tan universal como el TCL porque la distribución asintótica aún depende de la distribución subyacente de la muestra (a través del término $\left[f \left( \theta \right) \right]^2$). Sin embargo, puedes hacer la simplificación drástica de que tu muestra proviene de una distribución normal con media -y mediana- $\theta$ y varianza $\sigma^2$. Evaluando $f$ en su punto de simetría entonces da como resultado

$$\left[f \left( \theta \right) \right]^2 = \frac{1}{2\pi \sigma^2}$$

y así la varianza asintótica se convierte en

$$\frac{2\pi}{4} \sigma^2$$.

Divide por $N$ y toma la raíz cuadrada de eso para llegar a tu error estándar $1.2533\frac{\sigma}{\sqrt{N}}$.

Answer 2

Para tratar directamente el error en la mediana, puede utilizar el intervalo de confianza no paramétrico exacto para la mediana, que utiliza estadísticas de orden. Si desea algo diferente, es decir, una medida de dispersión, considere la diferencia media de Gini. El código está aquí para el intervalo de confianza de la mediana.