Casi seguro que la convergencia y la convergencia L1

Question

Estoy preparándome para el examen de mitad de período de mi teoría de la probabilidad examen, y estoy a la resolución de preguntas de exámenes de años anteriores. Una de esas preguntas que no podía contestar, y hasta ahora no he encontrado nada similar en línea.

Supongamos que $X_n \rightarrow X$.s. como $n \rightarrow \infty$. Probar o refutar que, si $\lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{E}|X_n| \rightarrow \mathbb{E}|X| < \infty$, $X_n \rightarrow X$ $L^1$ es decir $\Bbb E[|X_n-X|] \to 0$.

Aquí está mi enfoque actual: Da \begin{equation}\mathbb{P}(\omega \in \Omega: \lim_{n \rightarrow \infty}X_n = X) = 1 \Leftrightarrow X_n \rightarrow X\text{ a.s.}\end{equation}

NTS: \begin{equation} \lim_{n \rightarrow \infty}\mathbb{E}|X_n| \rightarrow E|X|<\infty \Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty}\mathbb{E}[|X_n - X|^1 ] =0.\end{equation} Desde $X_n \rightarrow X$ casi seguramente, $X_n \rightarrow X$ en la probabilidad. $L^1$ convergencia implica la convergencia en probabilidad + integrabilidad uniforme, por lo que es suficiente para mostrar que $(X_n)$ es uniformemente integrable.

Para mostrar integrabilidad uniforme, me, a continuación, defina una función $f$ que es acotada y continua, de modo que $f \circ X_n \rightarrow f \circ X$ en la probabilidad, y por lo tanto $\mathbb{E}[f \circ X_n] \rightarrow \mathbb{E}[f \circ X]$, que (junto con la suposición de que $\mathbb{E}X_n \rightarrow \mathbb{E}X$) implica que $\mathbb{E}[X_n - f \circ X_n] \rightarrow \mathbb{E}[X - f \circ X]$.

Último, corregir algunos $\varepsilon <0$ y utilice el hecho de que X es integrable para mostrar que la expectativa de X sobre algún intervalo de la función tiende a 0.

Para más detalles, la prueba se da también en el libro "Probabilidad y el Estocástico" por Erhan Cinlar (página 108f, Teorema 4.9).

Sin embargo, esta prueba parece un poco indirecta, porque yo no soy "realmente" el uso de la casi seguro de convergencia, sino que estoy trabajando con la convergencia en probabilidad. Es mejor (me.e más directa) enfoque?

Answer 1

Esto es una consecuencia directa de Scheffé del lema, que es en realidad debido a Riesz:

Lema: Si una secuencia de $L^p$ funciones integrables $f_n$ converge a.e. a un $L^p$ integrable función de $f$ $p\geq 1$ $\lim_n \Vert f_n \Vert_p = \Vert f \Vert_p$ es cierto, entonces $\lim_n \Vert f_n - f \Vert_p = 0$.

Prueba para p=1 (tomado de Kusolitsch (2010)): Considerar las funciones $$ f_n^* = \begin{cases} f_n, & \vert f_n \vert \leq \vert f \vert, \\ \vert f \vert sgn(f_n), & \vert f_n \vert > \vert f \vert, \end{cases}$$ que están dominados por el $L^1$ integrable $\vert f \vert$ y convergen a$f$.e. Por lo tanto las funciones $\vert f_n^* - f \vert$ están dominados por $2\vert f \vert$ y desaparecen una.e., y el teorema de convergencia dominada de los rendimientos $$\lim_n \int \vert f_n^* \vert = \int \vert f \vert$$ y también $$\lim_n \int \vert f_n^* - f \vert = 0.$$ Por definición, $f_n^*$ siempre tiene el mismo signo de $f_n$$\vert f_n^* \vert \leq \vert f_n \vert$. Así que uno se $\vert f_n - f_n^* \vert = \vert f_n \vert - \vert f_n^* \vert$, y $$ \int \vert f_n - f_n^* \vert = \int \vert f_n \vert - \int \vert f_n^* \vert. $$ Dado que tanto las integrales en el lado derecho convergen a $\int \vert f\vert<\infty$, esto lleva a la conclusión.