Yo personalmente creo que las descripciones de Wikipedia son bastante confuso, por lo que voy a escribir una derivación autónoma en mis propias palabras; esperemos que esto ayuda. Nota: voy a usar Einstein la notación de sumatoria de todo.
Con el fin de entender lo que realmente está pasando en la derivación, voy a intentar separar las matemáticas puras de la física. En particular, voy a derivar una puramente matemáticamente resultado, y luego interpretar que el resultado al final.
Algunos Matemáticas Puras
Deje $\{\mathbf e_i\}$ el valor del estándar de la ordenada base en $\mathbb R^3$. Es decir, $\mathbf e_1 = (1,0,0)$ etc. Para cada número real $t$, vamos a $\{\mathbf u_i(t)\}$ denotar una base ortonormales en $\mathbb R^3$, posiblemente diferente de la estándar en cualquier $t$, generado por una familia de un parámetro de rotación (elementos de $\mathrm{SO}(3)$) $B(t)$;
$$
\mathbf u_i(t) = B(t)\mathbf e_i.
$$
Observe que cualquier vector de la función $\mathbf w(t)$ puede ser escrito en cualquier base, es decir, existe funciones reales, $w^i(t)$ $w^i_B(t)$ para los que
$$
\mathbf w(t) = w^i(t)\mathbf e_i = w^i_B(t)\mathbf u_i(t)
$$
Para los métodos de representación de la conveniencia, para cualquier vector de la función, podemos definir
$$
\mathbf w_B(t) = w^i_B(t)\mathbf e_i
$$
y con esta notación tenemos, en particular, que
$$
\mathbf w(t) = B(t)\mathbf w_B(t)
$$
Ahora, vamos a cualquier vector de funciones de $\mathbf r(t), \mathbf X(t)$, y definir un vector función de $\mathbf x(t)$ por
$$
\mathbf x(t) = \mathbf X(t) +\mathbf r(t)
$$
Nos vamos a un overdot denotar la derivada de cualquier función con respecto a su argumento, y nos cuenta que podemos escribir cualquier vector de la función que aparece aquí en cualquiera de las dos bases definido anteriormente. Vamos a escribir $\mathbf r(t)$$\mathbf u_i$;
$$
\mathbf x(t) = \mathbf X(t) + r_B^i(t)\mathbf u_i(t)
$$
entonces tenemos
$$
\dot{\mathbf x}(t) = \dot{\mathbf X}(t) + \dot r^i_B(t)\mathbf u_i(t) + r^i_B(t)\dot{\mathbf u}_i(t)
$$
y
$$
\ddot{\mathbf x}(t) = \ddot{\mathbf X}(t) + \ddot r^i_B(t)\mathbf u_i(t) + 2\dot r^i_B(t)\dot{\mathbf u}_i(t) + r^i_B(t)\ddot{\mathbf u}_i(t)
$$
Ahora, antes de entrar en física intepretations, me parece útil para lanzar esta ecuación en términos de la familia de un parámetro de rotaciones $B(t)$.
$$
\ddot{\mathbf x}(t) = \ddot{\mathbf X}(t) + B(t)(\ddot r^i_B(t)\mathbf e_i) + 2\punto B(t)(\dot r^i_B(t)\mathbf e_i) + \ddot B(t)(r^i_B(t)\mathbf e_i)
$$
Como con la notación anterior por un general de vectores $\mathbf w$, podemos definir
$$
\mathbf r_B(t) = r^i_B(t)\mathbf e_i, \qquad \dot{\mathbf r}_B(t) = \dot r^i_B(t)\mathbf e_i, \qquad \ddot{\mathbf r}_B(t) = \ddot r^i_B(t)\mathbf e_i
$$
Entonces podemos escribir la ecuación que se obtiene como
$$
\ddot{\mathbf x}(t) = \ddot{\mathbf X}(t) + B(t)\ddot{\mathbf r}_B(t) + 2\punto B(t)\dot{\mathbf r}_B(t) + \ddot B(t)\mathbf r_B(t)
$$
Observe que podemos reordenar esta ecuación usando la ortogonalidad de $B$ como sigue (omito el argumento del tiempo a partir de aquí por el bien de la anotación de la brevedad).
\begin{align}
\ddot {\mathbf r}_B = B^t\ddot{\mathbf x} - B^t\ddot{\mathbf X} - 2B^t\dot B\dot{\mathbf r}_B - B^t\ddot B\mathbf r_B
\end{align}
Ahora definir
\begin{align}
\Omega_B = B^t\dot B
\end{align}
entonces no es difícil comprobar que
\begin{align}
B^t\ddot B = \Omega_B^2 + \dot \Omega_B
\end{align}
de manera que obtenemos
\begin{align}
\ddot {\mathbf r}_B = B^t\ddot{\mathbf x} - B^t\ddot{\mathbf X} - 2\Omega_B\dot{\mathbf r}_B - \Omega_B^2\mathbf r_B - \dot \Omega_B \mathbf r_B
\end{align}
Desde $B$ es ortogonal, $\Omega_B$ es un sesgo simétrica matriz, por lo que hay algunos vectores $\mathbf\Omega_B$ tal que para cualquier vector $\mathbf w$, tenemos
\begin{align}
\Omega_B \mathbf w = \mathbf\Omega_B\times\mathbf w
\end{align}
y, en consecuencia,
\begin{align}
\Omega_B^2\mathbf w = \mathbf\Omega_B\times(\mathbf\Omega_B\times\mathbf w), \qquad \dot\Omega_B \mathbf w = \dot{\mathbf\Omega}_B\times\mathbf w
\end{align}
así que finalmente llegamos
\begin{align}
\boxed{\ddot {\mathbf r}_B = B^t\ddot{\mathbf x} - B^t\ddot{\mathbf X} - 2\mathbf\Omega_B\times\dot{\mathbf r}_B - \mathbf\Omega_B\times(\mathbf\Omega_B\times\mathbf r_B) - \dot{\mathbf \Omega}_B\times \mathbf r_B}
\end{align}
Lo que todo esto significa físicamente.
Vamos a un físico llamado Alice establecer un conjunto de ejes cartesianos en un marco inercial, y vamos a Bob configurar cartesiano de ejes en un no-sistema inercial. Los triples
\begin{align}
\mathbf x(t) &= (x^1(t) ,x^2(t), x^3(t)) \\
\mathbf X(t) &= (X^1(t), X^2(t), X^3(t)) \\
\mathbf r(t) &= (r^1(t), r^2(t), r^3(t))
\end{align}
representar a los números reales que Alice iba a medir la posición de una partícula, la posición del origen de Bob coordenadas, y la diferencia entre los dos, respectivamente. El triple
$$
\mathbf r_B(t) = (r^1_B(t), r^2_B(t), r^3_B(t))
$$
representa los números reales que Bob iba a medir la posición de la misma partícula. En particular, los triples
\begin{align}
\dot{\mathbf r}_B(t) &= (\dot r^1_B(t), \dot r^2_B(t),\dot r^3_B(t)) \\
\ddot{\mathbf r}_B(t) &= (\ddot r^1_B(t), \ddot r^2_B(t), \ddot r^3_B(t))
\end{align}
representar a los números reales que Bob iba a medir que dan las componentes de la velocidad y la aceleración de la partícula.
Con todo esto en mente, vamos a interpretar la caja de la ecuación. A la izquierda es la aceleración de la partícula medida por Bob. A la derecha, el primer término es sólo la aceleración de $\ddot{\mathbf x}$ de la partícula medida por Alice con un extra de la rotación $B^t$ a cuenta de la diferencia en las orientaciones de los ejes de los dos marcos. El segundo término es la aceleración de la $\ddot{\mathbf X}$ de el origen de Bob marco medido por Alice con un extra de la rotación $B^t$ a cuenta de la diferencia en las orientaciones de los ejes de los dos marcos. El tercer término es la expresión para la aceleración de Coriolis, el cuarto término es la aceleración centrífuga, y el último término es el de Euler aceleración. En particular, a través de la multiplicación de la masa de $m$ de las partículas, cada una de las expresiones de la derecha, muestra el estándar de expresión para cada una de las correspondientes fuerzas ficticias.
\begin{align}
m\ddot {\mathbf r}_B = B^t(m\ddot{\mathbf x}) - B^t(m\ddot{\mathbf X})
\underbrace{- 2m\mathbf\Omega_B\times\dot{\mathbf r}_B}_{\text{Coriolis}} \,\,
\underbrace{- m\mathbf\Omega_B\times(\mathbf\Omega_B\times\mathbf r_B)}_{\text{centrifugal}} \,\,
\underbrace{- m\dot{\mathbf \Omega}_B\times \mathbf r_B}_{\text{Euler}}
\end{align}
El Vector $\mathbf \Omega_B$ - Importante Sutileza.
Tenga en cuenta que he definido el vector $\mathbf\Omega_B$ a través del sesgo de simetría de la matriz de $\Omega_B = B^t\dot B$. En particular, $\mathbf\Omega_B$ es el único vector que
$$
\Omega_B \mathbf w = \mathbf\Omega_B\times\mathbf w
$$
Sin embargo, observe que en la Wikipedia, el análogo de vectores que voy a llamar a $\mathbf \Omega_\mathrm{wiki}$ se define como el vector que
$$
\dot{\mathbf u}_i = \mathbf\Omega_\mathrm{wiki}\times\mathbf u.
$$
Pero aviso que desde $\mathbf u_i = B\mathbf e_i$, tenemos
$$
\dot{\mathbf u}_i = \dot B \mathbf e_i = \dot B B^tB\mathbf e_i = \dot B B^t \mathbf u
$$
así que si definimos $\Omega_\mathrm{wiki} = \dot B B^t$, entonces podemos ver que Wikipedia $\mathbf\Omega_\mathrm{wiki}$ es, precisamente, para que
$$
\Omega_\mathrm{wiki}\mathbf w = \mathbf\Omega_\mathrm{wiki}\times \mathbf w
$$
En particular, mi $\Omega_B$ y Wikipedia $\Omega_\mathrm{wiki}$ están relacionados por la similitud de transformación;
$$
\Omega_B = B^t\Omega_\mathrm{wiki} B
$$
a partir de la cual se desprende, como se puede mostrar, que
$$
\mathbf\Omega_\mathrm{wiki} = B\mathbf\Omega_B
$$
De hecho, en la Wikipedia de la convención, $\mathbf\Omega_\mathrm{wiki}$ representa la velocidad angular de los componentes en la no-rotación de base, mientras que en mi convenio de $\mathbf\Omega_B$ representa las componentes de la velocidad angular de la rotación de la base, que es la razón por la que me contó inicialmente con un subíndice $B$ cuando me define.
Espero que este era mejor que la Wikipedia. Yo creo que esto es todo bastante claro en mi cabeza, quiero saber si mi redacción y la notación clara. Si no, voy a intentar editar para mayor claridad.
