Estoy leyendo a través de Spivak del Cálculo de los Colectores y han llegado a través de un tecnicismo en uno de los problemas que está molesto conmigo. Es Problema 4-25, la declaración de que es
Deje $c$ ser un singular $k$-cubo y $p:[0,1]^k\to[0,1]^k$ ser un 1-1 función tal que $p([0,1]^k)=[0,1]^k$$\det p'(x)\geq 0$$x\in[0,1]^k$. Si $\omega$ $k$- forma, muestran que $$ \int_c \omega = \int_{c\circ p} \omega. $$
Creo que Spivak la intención de que esto sea un ejercicio bastante simple en el uso del cambio de variables teorema (su Teorema 3-13, que copio a continuación, al hacer el cambio que el Problema 3-39 permite, a saber, la eliminación de la suposición de que $\det g'(x)\neq 0$).
3-13 Teorema. Deje $A\subset\mathbf{R}^n$ ser un conjunto abierto y $p:A\to\mathbf{R}^n$ 1-1, continuamente función derivable. Si $f:p(A)\to\mathbf{R}$ es integrable, entonces $$ \int_{p(a)} f = \int_A (f\circ p)\lvert\det p'\rvert. $$
De hecho, si se desenrolla las definiciones de la integración de formularios a través de los cubos, el Problema 4-25 se resuelve en la medida que podamos decir que $$ \int_{[0,1]^k} (f\circ p)\lvert \det p' \rvert = \int_{[0,1]^k} f. $$ para (decir liso) la función $f:[0,1]^k\to\mathbf{R}$. Hay un problema: $[0,1]^k$ no está abierta, así que no se puede aplicar el teorema de arriba directamente. Lo que me gustaría hacer es reemplazar las integrales sobre $[0,1]^k$ integrales sobre $(0,1)^k$ pero no veo cómo esto va a funcionar. No sé de que las correspondientes integrales entonces sería igual. No sé que $p$ restringe a un bijection de$(0,1)^k$$(0,1)^k$. No sé que $p((0,1)^k)$ es abierto porque no puedo usar el teorema de la función inversa. De cualquier manera intento de acercarse a este me parece que en los problemas técnicos. Estoy feliz de asumir que todo lo que esté suave.
Nota: Lo que significa en la Spivak para que una función sea derivable en un no-conjunto abierto es que la función se extiende a una función derivable en un conjunto abierto.
