Ejemplos de patrones que acaban fracasando

Question

A menudo, cuando intento describir las matemáticas a los profanos, me veo en apuros para convencerles de la importancia y las consecuencias de las "pruebas". Recibo respuestas como: "seguramente si Collatz es cierto hasta $20×2^{58}$ y "la secuencia del número de aristas de un grafo completo empieza por $0,1,3,6,10$ por lo que el siguiente plazo debe ser 15, etc.".

Es cierto que esta segunda afirmación es menos ilógica que la primera, ya que no es difícil ver la razón por la que la secuencia debe continuar como tal; sin embargo, la afirmación se basa en una premisa que se reduce a que "los patrones interesantes siempre deben continuar".

Intento contrarrestar esta lógica creando un argumento ridículo como "los números $1,2,3,4,5$ son inferiores a $100$ por lo que seguramente todos los números lo son", pero esto no suele resultar convincente.

Entonces, ¿hay algún ejemplo de patrones no triviales que parezcan ser ciertos para un gran número de casos pequeños, pero que luego fallen para algún caso más grande? Una buena respuesta a esta pregunta debería:

1. que pueda explicarse a los profanos en la materia sin tener que someterlos a 24 clases magistrales de material de base, y
2. tienen como contraejemplo mínimo un caso que no puede (factiblemente) comprobarse sin el uso de un ordenador.

Creo que las condiciones 1. y 2. hacen que mi pregunta sea lo suficientemente específica como para tener en cierto sentido una respuesta "correcta" (o al menos "no errónea"); pero estaré encantado de aclararlo si no es así. Supongo que espero una respuesta de la teoría de números, pero veo que áreas como la teoría de grafos, la combinatoria en general y la teoría de conjuntos podrían ofrecer respuestas adecuadas.

Answer 1

Tomado de "A First Course in Algebra: with applications" de Joseph Rotman:

El valor más pequeño de $n$ para la que la función $f(n) = 991n^2 + 1$ es un cuadrado perfecto es

$$ n = \mbox{12,055,735,790,331,359,447,442,538,767}. $$

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De forma similar, el valor más pequeño de $n$ tal que la función $g(n) = 1,000,099n^2 + 1$ es un cuadrado perfecto tiene $1116$ dígitos.

Answer 2

Tengo debilidad por el viejo $n^2 + n + 41$ castaña, a saber, que la expresión es prima para todos los $n$ . Engaña a mucha gente.

Answer 3

Quizás un poco técnico, pero creo que se puede dar el sabor sin los detalles. Durante mucho tiempo se creyó que la integral logarítmica $\operatorname{Li}(x)$ es mayor que la función de recuento de primos $\pi(x)$ para todos $x$ y los cálculos lo verificaron para muchos "pequeños" (pero bastante grandes para la mayoría de la gente). $x$ . Su falsedad fue demostrada en 1914 por J.E. Littlewood, que no encontró explícitamente un contraejemplo, pero demostró que debe existir uno. $10^{316}$ fuera del alcance de los cálculos de la época.

Así que este ejemplo no es genial, porque la integral logarítmica es bastante técnica, pero los detalles de $\operatorname{Li}(x)$ no son tan importantes, así que sólo se trata de que una función sea mayor que otra.

Más información Wikipedia .

Answer 4

La prueba del "resto chino":

$$ \text{if } 2^n - 1 \equiv 1 \mod n \text{ then } n \in \mathbb{P} $$

falla por primera vez en $n=341$ . Esa fue una de las cosas que realmente me hizo pensar cuando empecé a aficionarme a la teoría de números de una manera más seria...

Answer 5

Heather360 da el siguiente ejemplo divertido:

Los presidentes estadounidenses elegidos en 1840, 1860, 1880, 1900, 1920, 1940 y 1960 murieron en el cargo, pero Ronald Reagan no.

Pero el siguiente ejemplo probablemente se ajuste más a lo que usted tenía en mente. El patrón no es muy largo, pero es muy sencillo y podría explicarse a cualquier persona de cualquier formación:

http://threesixty360.wordpress.com/2008/10/26/one-two-three-four-six-again-and-then-again/

Además, dado que ha comenzado su pregunta sin hacer referencia a los patrones, per se, sino a la importancia de la demostración matemática, yo señalaría la Paradoja de Banach-Tarski . Creo que a la mayoría de la gente, especialmente a los no matemáticos, les cuesta creer este resultado, por lo que es sin duda un ejemplo de demostración matemática que establece un resultado contraintuitivo.