Teorema de Rudin 1.20

Question

¿Puede alguien explicar la ayuda de qué proposición o axioma proviene el siguiente paso? Lo destacaré en la prueba.

$1.20\ (a)$ Si $x \in R,\ y\in R$ y $x > 0$ entonces hay un número entero positivo $n$ tal que $nx > y$ .

Pf

Dejemos que $A = \{nx\ |\ n \in Z^{+}\}$ . Supongamos, por el contrario, que no existe ningún elemento de este tipo que sea mayor que $y$ . Entonces $y$ es un límite superior, por lo que debe existir un $\alpha = sup\ A$ . Entonces, como $x > 0$ , $\alpha - x < \alpha$ y $\alpha - x$ no es un límite superior de $A$ . Por lo tanto, $$\alpha - x < mx$$ para algún número entero positivo $m$ . Pero entonces $$\alpha < (m+1)x \in A.$$

Parece obvio que podemos decir eso, pero todavía no veo exactamente qué axioma o proposiciones nos permiten hacer las últimas afirmaciones. ¿Puede alguien ayudar a aclarar esto?

Gracias.

Answer 1

Pf

Dejemos que $A = \{nx\ |\ n \in Z^{+}\}$ . Supongamos, por el contrario, que no existe ningún elemento de este tipo que sea mayor que $y$ . Entonces $y$ es un límite superior y

por lo que debe existir un $\alpha = sup\ A$ .

Esto se desprende de la propiedad del límite superior mínimo y del teorema (1.19 en el libro) que demuestra la existencia de un campo ordenado $\mathbb{R}$ que tiene la propiedad "least-upper-bound".

Entonces, como $x > 0$ , $\alpha - x < \alpha$ y $\alpha - x$ no es un límite superior de $A$ .

Por lo tanto, $$\alpha - x < mx$$ para algún número entero positivo $m$ .

Definición Supongamos que $S$ es un conjunto ordenado, $E \subset S$ y E está acotado por encima. Supongamos que existe un $\alpha\in S$ con las siguientes propiedades;

1. $\alpha$ es un límite superior de $E$ .
2. Si $\gamma < \alpha $ entonces $\gamma$ es no y el límite superior de $E$

Entonces $\alpha$ se denomina como mínimo límite superior de $E $ o simplemente supremum .

Así que esa parte de "por lo tanto" viene de la 2ª condición para la definición de supremum.

(continuación de la prueba)

Pero entonces $$\alpha < (m+1)x \in A.$$

Véase que esta afirmación contradice la 1ª condición de la definición de supremum.

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Cómo $\alpha-x<mx \implies \alpha <(m+1)x$ ?

Definición Un campo ordenado es un campo $F$ que también es un conjunto ordenado, tal que

1. $x+y<x+z$ si $x,y,z\in F$ y $y<z$
2. $xy>0$ si $x\in F$ , $y\in F$ , $x>0$ y $y>0$

Se deduce de la primera parte de la definición anterior (1.17 en Baby Rudin)