Mostrar que $\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}(\sqrt[4]{3})$

Question

Quiero mostrar que la $\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}(\sqrt[4]{3})$.

Creo que sería más fácil probar usando los siguientes: $\mathbb{Q}\subset\mathbb{Q}(\sqrt{3})\subset\mathbb{Q}(\sqrt[4]{3})$. A continuación,$\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}(\sqrt{3})$$\sqrt{2}\in \mathbb{Q}(\sqrt[4]{3})\Longleftrightarrow \sqrt{2}=a+b\sqrt[4]{3}$,$a,b\in\mathbb{Q}(\sqrt{3})$.

Traté de simplificar la ecuación anterior, pero no conseguí nada.

Answer 1

Si tuviéramos $\sqrt{2}\in \mathbb{Q}(\sqrt[4]{3})$ podríamos deducir, ya que $\sqrt 3\in \mathbb{Q}(\sqrt[4]{3})$], que $\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt 3)\subset \mathbb{Q}(\sqrt[4]{3})$ y por lo tanto para grados razón por la que $\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt 3)= \mathbb{Q}(\sqrt[4]{3})$.
Pero esto es imposible porque $\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt 3)$ es lo normal en el $\mathbb Q$ como la división de campo de la $(X^2-2)(X^2-3)$, mientras que $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{3})$ no es normal, ya que contiene uno pero no todas las raíces del polinomio irreducible $X^4-3$.

Answer 2

Como te han deducido es más fácil considerar $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{3})$ como un espacio vectorial sobre $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$. Primero se debe verificar que el $\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}(\sqrt{3})$, que no voy a hacer aquí. Entonces debemos deducir que no hay ningún elemento $a+b\sqrt[4]{3}$ $a,b\in\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ que las plazas a $2$. El cuadrado obtenemos $$(a^2+b^2\sqrt{3})+2ab\sqrt[4]{3}$$ Si este es igual a$2$$2ab\sqrt[4]{3}=0$, lo que implica una $a=0$ o $b=0$. Desde $\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}(\sqrt{3})$, $b$ no puede ser $0$, por lo tanto $a$ debe $0$. En este caso tenemos $$b^2\sqrt{3}=2$$ así $$b^2=\frac{2}{3}\sqrt{3}$$ Desde $b=x+y\sqrt{3}$ algunos $x,y\in\mathbb{Q}$ hemos $$x^2+3y^2+2xy\sqrt{3}=\frac{2}{3}\sqrt{3}$$ o $$x^2+3y^2=(\frac{2}{3}-2xy)\sqrt{3}$$ Sin embargo, el lado izquierdo es el racional y el lado derecho es irracional menos es $0$, por lo tanto, tenemos una contradicción.

Answer 3

Es suficiente para mostrar la $\sqrt[4]{3} \not \in \mathbb{Q}(\sqrt{2})$. Por qué?

$\sqrt[4]{3} = a+b\sqrt{2} \Rightarrow \sqrt{3} = a^2+2\sqrt{2}ab+2b^2 \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2ab}-\frac{a^2+2b^2}{2ab}=\sqrt{2} \Rightarrow \sqrt{2} \in \mathbb{Q}(\sqrt{3})$.

Si no lo has probado ya, se observa que la si $\sqrt{2}=c+d\sqrt{3}$, entonces tenemos la siguiente,

$2=(c^2+3d^2)+(2cd\sqrt{3}) \Rightarrow c=d=0$ ya que si no tendríamos $\sqrt{3} \in \mathbb{Q}$.

Answer 4

Un método es tomar sólo una aproximación de fuerza bruta. Deje $x = \sqrt[4]{3}$, de modo que $\{1, x, x^2, x^3\}$ es una base para$\mathbb Q(\sqrt[4]{3})$$\mathbb Q$. A continuación, escribir $$\sqrt{2} = a + bx + cx^2 + dx^3.$$ Plaza del este y reducir el uso de la relación $x^4 = 3$, luego equiparar a la base de los coeficientes y de mostrar que el sistema resultante de ecuaciones no tiene solución.